拉普拉斯變換的物理意義是什麼？

11-16

能否說明其物理意義，或者其作為數學工具的意義和目的？

個人覺得物理意義還是要看統計力學，光糾結于振盪電路啊復頻域啊什麼的比較看不出物理意義；而且不贊成在純數上看作傅里葉變換的推廣，見PS。先補充一下 @倫勃朗的煙斗的答案：

從正則系綜配分函數切換到微正則系綜態密度或者說譜密度的時候，所用的是拉普拉斯逆變換；反之是拉普拉斯變換。其中核的指數上的複數也很好理解，它經常出現於統計力學中的Lee-Yang理論（由李政道和楊振寧於1952年通過兩篇論文建立）：即復化之後的溫度，化學勢或者外磁場。

他們通過這種復化的方法推導出出了在熱力學極限下，系統發生一級或者連續相變的條件（原文是對於自旋系統的）：就像複分析里的branch cut一樣，Lee-Yang零點在複平面上聚集成一條線，只有取實數值的物理量在相變是跨過這條線，才會發生一級相變。這些零點解釋了為什麼一個明明是解析函數的配分函數在相變時卻能導致發散的物理量，也給出了一個no-go theorem: 不取熱力學極限就不會發生相變；至今這套理論還是研究傳統非拓撲相變的利器。有人會說復的物理學量只是數學技巧罷了，但近來有實驗表明我們是能觀測到Lee-Yang零點的，參見Experimental Determination of Dynamical Lee-Yang Zeros. 跑偏一點，這套理論還衍生出Lee-Yang edge，即高於相變溫度時，上述的Lee-Yang零點匯聚線終止於兩個臨界點，而用於描述該臨界點附近復物理量的理論是一個central charge為 $-frac{22}{5}$ 的2維共形場論，叫非幺正minimal model.

因此拉普拉斯變換在研究3維純量子引力（不含費米物質）特別是黑洞熵以及黑洞Hawking-Page相變的時候，經常出現在半經典近似中，因為如果假設AdS/CFT成立，復化的熱力學量既屬於2維漸進邊界上的引力邊界條件，也是邊界2維共形場論的參數。可以參照下列Witten和尹希的文章（Maloney-Witten里(5.7)式附近把拉普拉斯逆變換寫成拉普拉斯變換了）。

PS: Lee-Yang的原文里只考慮了復化的外磁場和化學勢，叫做field-driven transition；復溫度是1965年Michael E. Fisher引入的，叫temperature-driven transition，是一個nontrivial的推廣，注意不要和有限溫度場論中的虛時間混淆。

數學上，其實把拉普拉斯變換看成Borel變換的推廣比看成是傅里葉變換的推廣更合適，因為後者的指數上也沒有虛數單位，專治非收斂級數，這和拉普拉斯變換代替傅里葉變換處理非收斂信號有異曲同工之妙。在物理中的用途嘛，最近在非微擾量子場論和弦論的resurgent analysis里火得不行呀

References:

Yang-Lee: Statistical Theory of Equations of State and Phase Transitions. I. Theory of Condensation
Lee-Yang: Statistical Theory of Equations of State and Phase Transitions. II. Lattice Gas and Ising Model
Maloney-Witten: Quantum Gravity Partition Functions In Three Dimensions
Yin: Bootstrapping the Spectral Function: On the Uniqueness of Liouville and the Universality of BTZ

仔細研讀過鄭君里的信號與系統，曾經一度達到可以背誦上下兩本書的程度。
後又熟讀程佩青的數字信號處理，對其中的前八章達到背誦的程度。
最後有熟讀奧本海默的信號與系統與離散信號處理兩本書，這兩本書實在是厚啊，總共1000+頁！

樓上很多人都說拉普拉斯變換沒有實際的物理意義，相對於傅立葉變換明確的物理意義來說，拉普拉斯變換隻是一個運算元。

這種說法未免有失偏頗。

首先承認拉普拉斯變換確實起到運算元的運用，然而其物理意義長期沒有被人發現。

簡單的說，大家都認可傅立葉變換的本質是一個信號可以表示成正弦信號的疊加，即無法進行傅立葉變換。
大家如果注意到傅立葉變換與拉普拉斯變換的關係可以發現，當s=jw時，傅拉普拉斯變換便等於傅立葉變換。可見傅立葉變換是拉普拉斯變換的特例。那麼重點來了，如果一個是增長型的，比如e^2t，這個信號指數增長，是無法表示成等幅的正弦信號的疊加的。注意，傅立葉變換的物理意義是一個信號可以表示成等幅的正弦信號的疊加！！
這個等幅的概念有多少人忽略了！！！
那麼，推廣一下，不等幅的正弦信號（e^at*sint）便出現了！
數學波形是很容易想像的。

回到e^2t的問題，這個信號無法表示成等幅的正弦信號的疊加（傅立葉變換），那麼它為何不能表示成增幅的正弦信號的疊加呢？

這就是拉普拉斯變換的物理意義！！！

上面這個信號在拉普拉斯變換中有一個收斂域，s&>2.復頻域如何表示自行想像。
其意義是啥呢？
因為收斂域包括s=4這條縱軸，這就意味著這個信號可以表示成∑e^4t*sinkwt這種增幅信號的疊加形式。
因為收斂域包括s=5這條縱軸，這就意味著這個信號可以表示成∑e^5t*sinkwt這種增幅信號的疊加形式。
s=6，7，8等等，道理如上。

那麼可以發現，在拉普拉斯變換的收斂域內有無數條縱軸，在每一條縱軸上都可以寫成一個不等幅正弦信號的疊加。

從這個角度來看，傅立葉變換隻不過是s=0縱軸上，信號分解成等幅（特彆強調這個等幅概念）正弦信號的疊加。

拉普拉斯變換確實有些明確的物理意義，只不過大多人沒發現罷了。

至於更詳細的數學證明，未完待續。

拉普拉斯變換的物理意義需要你懂一些統計力學，其中的指數乘子物理中往往表示耦合或者波爾茲曼分布的分布概率。統計力學中系綜理論中經常求的配分函數其實就是做拉普拉斯變換，描述的是不同態之間按照各自權重進行求和的到的期望值。

此外，更近一步，當你學會量子力學，就明白圖像與拉普拉斯變換運算類似的自相關啦，卷積啦，其實就是在做量子態的投影，求和，只不過這時的權重是個函數而已

拉氏變換與傅氏變換從純數學角度看有兩項不同：1，積分變換的核函數不一樣；2，積分上下限不一樣。對於像從事工程技術的一般工程師們來講，我們可以從下述內容做點工程應用上的解釋：傅氏變換是基於e(jωt)的，拉氏變換s=σ+ωj，函數（或信號）x(t)拉氏變換等於0到+∞上x(t)對e(-st)=e(-(σ+ωj)t)的積分變換。傅氏變換是在e(jωt)的正交基函數，s平面的虛軸上展開的，從而類比可以看出拉氏變換是在整個複平面上e(-st)核函數展開的。同時因為e(-st)=e(-(σ+ωj)t)，複平面坐標下σ就是實軸，ωj是虛軸就是傅氏分析的頻率。σ這項的引入就是e(-σt)，就是給x(t)乘上一個多大的隨時間自然衰減的量才使那些物理世界中能量無限的物理過程可以存在傅氏變換，拉氏變換就是對x(t)乘以e(-σt)衰減項後在積分域0到+∞的傅氏變換。拉氏變換中0到+∞上的積分上下限隱含了這是一個有開始態的因果系統。

拉普拉斯變換
$mathcal L[f](s) = int_0^infty f(t) e^{-st} mathrm dt$
這裡變數 $s$ 是一個複數，它沒有明確的物理含義 —— 大部分物理量尤其是可觀測量，譬如傅立葉變換中的頻率 $omega$ ，都是實數。

傅立葉變換

假如非要找到拉氏變換的含義的話，可以寫成傅立葉變換來看： $mathcal L[f](s) = int_{-infty}^{+infty} Theta(t) f(t) e^{-sigma t} e^{-iomega t} mathrm dt equiv mathcal F[ Theta(t)f(t) e^{-sigma t} ](omega)$

換句話說，函數 $f$ 的拉氏變換相當於將其 $t>0$ 的部分按照指數函數抽樣以後的頻譜。其逆變換，恰好是這些頻譜的疊加。

信號： $cos t$
實空間

頻譜空間（僅表現實數部分）

拉式變換是應用於多學科的常用數學工具，本身並無特殊的物理含義。但對於信號的拉式變換，還是可以給出物理解釋的，它可以將 $f(t)$ 分解為無數個廣義頻率下的變幅正弦分量之和。
——《濾波器綜合法設計原理》
個人認為，的確可以這樣給物理意義，然而並沒有什麼用。我平時用它也就是求電路響應，網路函數的零極點分析等。把偏微分方程轉化為常微分方程、把常微分方程轉化為代數方程。這些還是體現了積分變換作為一種數學工具的意義，即將較複雜的運算轉化為較簡單的運算，算完之後再轉回去。此時，我們只要記住象與原象的對應關係（即常用拉式變換對），象中的運算與原象中的運算的對應關係（即拉式變換的性質），就可以了，確實是不用考慮它的物理意義。

想看前面說的物理意義的同學，俺把讀書筆記發上來~最好依序看一遍，等不及請直接看「2.8變幅正弦信號與廣義頻率」
2.2 信號的頻譜分析
Dirichlet條件
函數單值有限，且周期內不連續點和極大、極小值點的數目是有限的。

滿足該條件的周期函數，可以用傅里葉級數展開。
滿足該條件的非周期函數，若同時滿足絕對可積條件， $int_{-infty}^{+infty}|f(t)|,dt < infty$ ，則存在傅里葉變換。
注意，該條件為充分不必要條件。

傅里葉變換
$F(jomega) = int_{-infty}^{+infty} f(t)e^{-jomega t} ,dt$
運用歐拉公式展開上式，
$F(jomega) = R(omega) + jX(omega) = |F(jomega)|e^{jvarphi(omega)}$
我們分析可知實部是偶函數，虛部是奇函數；幅度是偶函數，虛部是奇函數。亦即 $F(-jomega) = F^*(jomega)$ 。
傅里葉逆變換
$egin{split} f(t) = frac{1}{2pi} int_{-infty}^{+infty} F(jomega)e^{jomega t} ,domega \ = frac{1}{2pi} int_0^{+infty} [F(jomega)e^{jomega t} + F^*(jomega)e^{-jomega t}] ,domega \ = frac{1}{2pi} int_0^{+infty} |F(jomega)e^{jomega t}| [ e^{j[omega t+varphi (omega)]} +e^{-j[omega t+varphi (omega)]} ] ,domega \ = frac{1}{pi} int_0^{+infty} |F(jomega)e^{jomega t}| cos[omega t + varphi(omega)] ,domega \ end{split}$
分析 $F(jomega)$ 的量綱，我們稱其為頻譜密度。
這裡 $omega$ 存在負頻率，原因在於定義並非是每秒鐘波形重複的次數，而是數學上的需要。我們可以看到，等幅共軛的兩個頻率可以構成實信號。
廣義傅里葉變換
有些函數不滿足絕對可積條件，但可以用滿足條件的函數進行逼近，從而求得其傅氏變換。
傅氏變換分析的局限
- 對於初始狀態不為零的系統，計算較為不便；
- 很多實際中常用的信號不滿足絕對可積條件，不存在傅氏變換。

2.7 拉普拉斯變換
考慮到傅氏變換的兩種局限，我們引入拉氏變換。
雙邊拉氏變換
通過引入一個衰減因子 $e^{-sigma t}$ 與 $f(t)$ 相乘，通過選取適當的 $sigma$ ，可以得到一個滿足絕對可積條件的函數 $f(t)e^{-sigma t}$ ，再對其做傅氏變換有
$mathcal{F}[f(t)e^{-sigma t}] = int_{-infty}^{+infty} f(t)e^{-sigma t}e^{-jomega t} ,dt = int_{-infty}^{+infty} f(t)e^{-(sigma+jomega t)} ,dt = F(sigma+jomega)$
令復頻率 $s = sigma+jomega$ ，則有拉式變換， $F_b(s) = int_{-infty}^{+infty} f(t)e^{-st} ,dt$ ，亦稱象函數。
相應地，拉式逆變換為 $f(t) = frac{1}{2pi j} int_{sigma-jinfty}^{sigma+jinfty} F_b(s)e^{st} ,ds$ ，亦稱原函數。
可行域
前面提到，選取適當的 $sigma$ 才能使得 $f(t)e^{-sigma t}$ 滿足絕對可積條件，此即為拉式變換的可行域（收斂域）。若信號的增長速度比指數信號還快，則不存在拉式變換。
多個非因果函數( $t<0$ 時， $f(t) e 0$ )可能對應於同一個象函數，如 $f(t) = e^{-3t}epsilon(t) pm e^{-2t}epsilon(pm t)$ 。但區別在於他們的收斂域可能不同，故而，我們在做雙邊拉式變換時需要同時標明收斂域。
單邊拉式變換
雙邊拉式變換同樣是有局限的，因為它的收斂域有可能為空。
我們常用的是單邊拉式變換，其一，它的收斂域必定非空；其二，我們研究因果系統，主要關注 $t>0$ 的系統響應，即便 $t<0$ 網路內部有儲能，但其影響可以用$ t=0 $時的初始條件表徵。所以初始條件與 $t ge 0$ 的激勵已經能夠完全確定 $t>0$ 的系統響應。
$F(s) = int_{0_-}^{+infty} f(t)e^{-st} ,dt$
$f(t) = left[frac{1}{2pi j} int_{sigma-jinfty}^{sigma+jinfty} F(s)e^{st} ,ds ight] epsilon(t)$

2.8 變幅正弦信號與廣義頻率
拉式變換是應用於多學科的常用數學工具，本身並無特殊的物理含義。但對於信號的拉式變換，還是可以給出物理解釋的。

如信號 $f(t) = Ae^{sigma t} cos(omega t + varphi)$ ，其振幅是隨時間指數變化的。
經簡單推導，它可以寫作 $f(t) = frac{1}{2} [Ae^{jvarphi}e^{(sigma+jomega t)} + Ae^{-jvarphi}e^{(sigma-jomega t)}] = frac{1}{2}[dot{A}e^{st} + dot{A}^*e^{s^*t}]$
可見，這樣的一個信號可以分解為兩個振幅共軛，「廣義頻率」共軛的信號。
拉式變換的奇偶性體現為 $F(s^*) = F^*(s)$ ，與對傅氏逆變換的討論類似，我們可以推導得到
$egin{split} f(t) = frac{1}{2pi j} int_{sigma-jinfty}^{sigma+jinfty} F(s)e^{st} ,ds \ = frac{1}{2pi j} left[ int_{sigma+j0}^{sigma+jinfty} F(s)e^{st} - int_{sigma+j0}^{sigma-jinfty} F(s)e^{st} ight] ,ds \ = frac{1}{2pi j} int_{sigma+j0}^{sigma+jinfty} F(s)e^{st} - frac{1}{2pi j} int_{sigma+j0}^{sigma+jinfty} F(s^*)e^{s^*t} ,ds^* \ = frac{1}{2pi} int_{sigma+j 0}^{sigma+jinfty} frac{F(s)}{j} e^{st},ds + left[ frac{F(s)}{j} ight]^* e^{s^*t},ds^* \ end{split}$
能夠看出 $f(t)$ 可以分解為無數個變幅正弦分量之和。

參考文獻：
西交大黃席椿和高順泉的《濾波器綜合法設計原理》（人民郵電社1978年）。

不按人的認知規律出發，是教科書的普遍特點，導致讀者理解困難。特別是拉普拉斯變換，應用領域太多，有人從信號理論第一次接觸拉普拉斯變換，有人從控制理論，而有人從數理方程。這導致解釋五花八門。
個人感覺從傅立葉這個人處理熱傳導方程講起最符合認知論。在一個木棒上增加點熱源，那麼這個木棒的溫度分布變化規律如何？人腦很自然的會以時間t作為變數大腦模擬這一過程，當然具體的數值還需要求解偏微分方程。解看起來很複雜，是一系列正弦函數的疊加。此時，如果將正弦函數疊加換個記號，不就方便了嗎？這就是傅立葉變換。
拉普拉斯變換也是如此。
以上認知僅個人愚見，將拉普拉斯變換視為人類知識的一次「壓縮」而非「拓展
」。很可能是錯的，請有識之士指正。

任何數學理論都沒有物理意義。

任何，數學理論，都，沒有，物理意義。

你當然可以給拉普拉斯變換的自變數x賦予時間的意義，變換後的自變數s就是廣義的頻域，但這並不蘊含在數學形式之中，這種理解方式就是捨本逐末。

在我理解一個積分變換的時候，我主要是從以下三方面來理解的。

1.什麼樣的函數可以在變換+逆變換後收斂到原函數？（完備性）

2.這樣的變換會對解析運算帶來什麼樣的簡化？

3.這樣的變換會對數值運算帶來什麼樣的簡化？

首先拉普拉斯變換是傅里葉變換的推廣，只要讓變換後的自變數取純虛數，拉普拉斯變換就會自然的變成傅里葉變換（在自變數取值上有些微妙的差異）。同時拉普拉斯變換可以處理更多原本傅里葉變換無法處理的函數。因此在傅里葉變換失效的場合很自然的就會去試試拉普拉斯變換。

注意到拉普拉斯變換的逆變換隻需要知道某一條路徑上的值，如果用比較不嚴謹的觀點來看的話，選取路徑的同時也是在選取一族本徵函數，逆變換中求積分則是讓本徵函數做線性疊加得到原函數的過程。選取路徑的自由度可以理解為選取本徵函數的自由度。在變換後的變數s不是純虛數的時候，實際上拉普拉斯變換的本徵函數相比傅里葉變換多了一部分衰減因子，從這個角度也可以說拉普拉斯變換是傅里葉變換的推廣。

拉普拉斯變對化簡解析運算很有幫助，最簡單的體現在它可以將導數和積分變為乘除法，並將卷積變為相乘。這對於很多需要應用微分方程和卷積的領域有極大的化簡，因此在信號處理的領域應用很廣。還有些情況下，通過拉普拉斯變換將複雜的積分變為乘法，運算完再轉化回來，就可以得到一些非常複雜的積分的解析結果。還有一些有趣的場合，我們可以利用程序快速解析計算求導，這時候利用拉普拉斯逆變換化簡的時候，甚至可以把一些乘法替換回求導，然後利用計算機得到解析結果。

當然如果逆變換的解析計算非常複雜，也可以考慮利用數值的方法做逆變換。這就是拉普拉斯變換對數值解的簡化。

拉普拉斯變換首先是一個數學工具，在求解微分方程的時候起到巧妙的作用。
而在不同的工科領域，其物理意義應該各有不同。例如在電路裡面，若面對一個已經穩定的電路(無自由分量)，可以對各種電路元件應用拉普拉斯變換，這樣就不再關注元件的時域(不關注某一個時刻某個元件某個量的大小或者相位)，把所有元件視為類似於電阻的東西，然後分析輸入輸出關係，求得傳遞函數。

在很多系統裡面，拉普拉斯變換用於傳遞函數的求解，這可能是它普遍的物理意義。

拉普拉斯變換是一種數學工具，不是物理定律，沒有明確的物理意義。至於時域和頻域的變換，可以理解為同一對象的不同表示方式。

在傳導方程的求解中經常用到，用於求解柯西問題 (Cauchy Problem)。將時間域偏微分方程 (Partial differential equation) 轉化將為常微分方程(Ordinary differential equation)，結合邊界條件(Boundary condition)，初始條件(Initial condition)，求得拉普拉斯域的解，再通過數值反演得到時間域的數值解(Numerical solution)，或者拉普拉斯運算元(operator)的趨近得到時間域的近似解(asymptotic solution)，或者拉普拉斯反演得到時間域的解析解(analytical)，其中，求解的難度完全取決於拉普拉斯域的解的形態，苛求程度依次升高。

至於物理意義，作為工科生，能用就行，就不深究了。

你在水池邊看到一陣陣漣漪
它如此完美，

你還想再看一次這漣漪。

於是你在起點調節水位，

你先調到52，
等待了0.002秒你調到37，
又過了0.041秒鐘你把水位改到86，
短短一秒鐘，你改了765次水位。

終於做出了這一秒的完美。

可你不知道啊，

這漣漪來自你旁邊的哈士奇，
甩水時，
落到池裡的6點不同的水滴。

大多數情況下，拉普拉斯變換是傅立葉變換在複平面上的解析延拓。它的虛軸部分就是傅立葉變換。我們知道對於解析函數來說知道了虛軸（或者實軸）就等於唯一確定了這個函數，所以很多情況下它可以看成是把傅立葉變換的函數延拓到了複數域上。
為什麼要延拓呢，我認為還是因為常係數線性微分方程組太常用了，這些方程組的解經過拉普拉斯變換之後，只有有限多個零點和極點，通過這些零點和極點就可以唯一確定這個解的函數，比頻率相位譜信息量更緊湊，也更容易研究。如果是研究一些奇奇怪怪的函數，比如sinc，可能就沒有太大幫助。
還有少部分情況下，拉普拉斯變換在虛軸上都是不收斂的，但是意義仍然差不多。

用處太大了，SCLI系統用它配合bode nyquist圖啥的求系統各種性質簡直方便的不行。法國人特喜歡用它，SI(工業科學)這門課里有整整一本書在講用它來評價一個系統和改善一個系統

拉式變換將時域變換到s域，而這個s域並不像頻域（傅里葉變換）那樣具有很強的物理意義，容易讓初學者琢磨不透，而一味地將它作為一個數學符號來處理。直到去年我從一位海歸老師那才明白了拉氏變換存在的意義。我們知道，信號都能進行傅里葉變換的前提是其絕對可積(即取信號的絕對值，再沿時間從-inf到+inf積分，若積分存在，則成為絕對可積)；階躍信號在傳統意義上並不是絕對可積的，故其傅里葉變換的積分不收斂；但階躍信號在實際控制工程中卻運用廣泛，要怎麼解決呢？

我們可以嘗試將階躍乘上一個exp(-at)(a&>0)，這樣通過一個指數衰減，信號就滿足絕對可積了，因此對1(t)*exp(-at)就可以做傅里葉變換。經過一些小的整合，我們就可以得到拉氏變換的表達式了。可以看出，拉氏變換是傅里葉變換的拓展。

信號處理上主要是可以解決傅里葉變換無法變換的情況，一次求出全響應也是很爽的。

話說離散的也有Z變換 DTFT之類

已知終值為1，利率為S，離結束t時刻以前的概率為f(t)，求物品的現值期望。

信號與系統。

先說系統的拉普拉斯變換。

線性時不變系統，滿足疊加原理：一個信號的系統響應，等於先把這一信號拆成很多正弦信號，然後分別產生系統響應，最後再加起來。

拉普拉斯變換的物理意義之一，就是針對一個特定頻率的正弦信號，輸入也是一個同頻率的正弦信號，而且可以很直觀地看出其系統響應跟該輸入信號在幅值（乘以一個數，即系統在該頻率的幅值）和相位（加上一個數，即系統在該頻率的相位）之間的關係。而且這個關係，只跟頻率相關，跟輸入信號的幅值和相位無關。s=jw，w就是頻率。

對每個頻率的正弦信號都可以，那加起來的話，就可以考慮整個信號了。這也就是Bode圖在實際中這麼有用的原因：濾波器、控制系統，乃至通信系統等等中，跟信號處理相關的，比比皆是。

回頭說信號的拉普拉斯變換。Loosely地說，就直觀地顯示出信號在各個頻率的正弦信號的分量。

這裡正弦信號，其實更確切地說，是復指數信號，可以分解成正弦、餘弦。

當然，這只是物理意義之一。而且是我個人理解的。

順便說一句，如果一個概念，在不同的領域有很多不同的名字，那這個概念一般比較重要：因為很多領域都在用它，而且用到了給它一個名字的程度。比如Bode圖，有時也叫頻率曲線等等，好多不同的名字。

再插一句題外話，很多問題，信號跟系統一分清楚，就簡單不少。之後先單單考慮信號，確定信號跟隨機信號一分清楚，就又簡化很多。分清楚了信號，再回過頭來看系統，往往就更清清楚楚了。

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Loosely speaking，極點是數學上的無窮大，物理上的模態；零點是數學上的零，物理上的模態blocking。

電信系的路過，大學四年都在和這位大神打交道。拉氏變換(要讀錯成「拉*變換喲」)是數學中聯繫時域和頻域的重要工具，起到類似作用的還有傅立葉變換和Z變換。通俗點講就是生活中你看到的任何一個波，不論是什麼形狀都能被轉換成頻率成倍數關係的一系列波的特定組合，而在坐標軸中畫出的這一系列波的頻率和它們係數的關係(x軸標明頻率大小,y軸標明頻率對應係數的大小)，這樣就得到了原來那個波的頻域曲線。將時域轉換到頻域可謂是波的研究中的及其基礎又及其重要的內容，有了頻域的圖像就能通過一些濾波器，乘法器等等實現特定頻率段波的過濾個頻率的搬移，然後在物理學中通過對反射波和折射波頻域的研究能得到很多物質的特性，通信中能夠實現遠距離和大量信息的低損耗傳輸。綜上，拉氏變換是波的研究的重要工具。

將發散的傅立葉變換失效的激勵加入衰減因子，將傅立葉的等幅的特殊情況擴展到增幅等幅減幅的信號上去，方便對信號的處理，好像只是數學上的意義吧，好比自由響應和強迫響應，也只是從數學角度給予的定義。