金融衍生品如何定價？
希望大家從金融理論層面和實際操作層面聊聊這個問題
衍生品的定價要從金融產品的定價說起，最早做金融市場定價的一撥人是搞經濟學出身的，經濟學講究供給需求的均衡，用市場出清達到的均衡價格給產品定價。舉個栗子，學過微經的人都知道，消費者的效用最大化決定了需求曲線，生產者的利潤最大化決定了供給曲線，兩條線一交叉，價格就出來了。再舉個複雜一點的栗子，宏觀裡面的IS-LM模型講的是錢的價格——利率，產品市場均衡得到IS曲線，貨幣市場均衡出來LM曲線，兩個線一叉，利率就出來了。
經濟學家開始搞金融產品定價的時候，也想用這招，可是問題就來了：金融產品和桔子蘋果不一樣，水果市場上買桔子和賣桔子的是兩撥人，金融市場上買股票和賣股票的是一撥人，供給方也是需求方，這下子效用最大啊、利潤最大啊都搞不好了，傳統的供給需求曲線就畫不出來了。經濟學家就開始想：生產者和消費者獨立的均衡搞不好了，金融市場有沒有別的均衡呢？答案是有的——想買的等於想賣的，是金融市場上最基礎的均衡。從這個思路出發，就發展出了Arrow-Debreu範式，他們給每個人加上一個當期和未來消費的效用函數，然後對效用函數做優化，得到需求量（如果需求為負就是供給量），用很複雜的矩陣代數來給金融產品定價。
經濟學家就是這麼一幫玩弄自己娛樂大眾的角色，他們的分析依賴於這個叫做「效用函數」的東西，經濟學家們不僅假設效用函數的存在，而且對其單調性、連續性、凸性都做了假設，得出的定價結論只適用於「真空中的球形雞」，他們很高興，因為「解是存在的」。
市場上的投資人對這個答案很不滿意，他們總不能在下單前先寫出來自己的效用函數吧？！於是就發展出了一套不依賴於效用函數（嚴格的說是「幾乎」不依賴）新的定價理論，人稱無套利定價。無套利定價的想法就很簡答了，比如咱要給沙拉定價，我們只要把沙拉所含的成分搞清楚就行了，蘋果、番茄、菜葉兒各佔多少，一加起來（可能加點兒服務費）就是沙拉的價錢。這時候您可能就問了：那蘋果、番茄、菜葉兒值多少錢呢？對不起，您說的都是「基礎資產」，無套利方法只能給衍生品定價。所以說金融衍生品的定價方法就是把衍生品想法兒「還原」成基礎資產，然後再把各個成分給加回來。無套利定價這套方法在數學裡，就是商品空間里的泰勒展開（題外話，我覺得泰勒展開是世界上第二偉大的公式，第一偉大的一會兒還要提到，泰勒公式、傅里葉變換、伊藤引理本質上都是一個東西，泰勒展開的思想改變了我們的世界，么么噠），把衍生品「投影」到空間的一組基（基礎資產）上，然後根據投影的係數和基礎資產的價格做加權疊加。
金融市場上，最常見的基礎資產有兩種：股票和現金（請注意，債券不是基礎資產，債券是最簡潔、最完美的金融衍生品）。至此，學者們想方設法把衍生品給拆分成基礎資產的組合，1973年的時候，Merton發現可以把股票歐式期權拆成股票和現金的組合，具體而言就是：
走到這一步，每個想給金融衍生品定價的人，只要想辦法把衍生品和其他基礎資產組合成現金，再利用現金「錢生錢」的特性，就可以得到衍生品價格所服從的微分方程了。一時間，形形色色的微分方程充斥著衍生品的研究和實務領域，其中多數都很蛋疼（老天開眼，B-S微分方程的解罕見的漂亮，而債券價格滿足的微分方程噁心死你）。大量在物理領域解慣了微分方程的呆逼們就開始湧入衍生品行業，成為了第一代Quant，物理研究中有很多微分方程要解（題外話，牛頓第二定律
最後來說說風險中性測度這個東西，我們人是有風險偏好的，多數人都是風險嫌惡的（題外話，風險偏好是有效用函數的凸性決定的，無套利理論的發展沒有依賴效用函數，自然是不幹風險什麼事兒的，不過函數取期望的Jensen不等式是我覺得第三偉大的公式，諸多知名的不等式都是Jensen的推廣）。舉個栗子，給你兩個方案：A、給你1塊錢；B、丟個硬幣，正面給你2塊，反面不給你錢。你怎麼選？反正我是選馬上拿錢走人。我們可以看到，這裡是有風險偏好的，A方案是基礎資產「現金」，B方案是基礎資產「硬幣收益」（可以類比於股票），兩個基礎資產之間是蘿蔔青菜各有所愛，風險偏好不可強求。可是衍生品不一樣，還是兩個選擇給你挑：第一、給你A+B；第二、丟個硬幣，正面給你3塊，反面給你1塊。你怎麼選？這兩個選擇對於每個人看起來都是一樣一樣一樣的，由於衍生品不具有作為商品空間基的獨立性，市場參與者對其也就沒有特殊的風險態度，人稱「風險中性」。
首先，衍生品分兩種，OTC和Exchange traded。
OTC產品市場要遠遠高於後者，即便是在當代這個不景氣的otc市場。所有的rates產品，所有的credit產品，全部為otc產品。exchange traded的產品是標準化產品，比如香草期權，期貨。這些產品在流動性足夠大的時候不需要定價，通常在option pricing的過程里，人們把它們當作標杆來擬合模型，然後進而pricing更為複雜的otc產品。而rates與credit這種無場內產品的，只能夠拿相對交易量大的產品，比如swap，比如cds來進行擬合，進而再對其他產品進行定價。
一般來說，衍生品定價有三個步驟：1，模型選取；2，模型擬合；3，定價。
在第一階段，選取模型要有這麼幾個參考：模型能不能夠描述客觀標的資產，這個是首要因素；有沒有擬合目標產品的解析解，這決定了擬合的效率問題，如果沒有解析解，PDE效率能否跟得上，這是次要因素；有沒有定價產品的解析解，這個是最末端的因素，有固然是好，沒有也無所謂。
第二階段，模型擬合時，方式有很多種，最簡單粗暴的是least square minimisation，還有maximum likelyhood等等各種辦法。當然，有一些cheating的辦法，比如把model parameters設置成constant來做fits。這裡就能夠看到有解析解會帶來多大便利，因為minimising是一個迭代優化過程，沒有解析解會極度的浪費時間，尤其是必須用蒙特卡洛才能做擬合目標定價時。這也是為什麼找歐式解析解會成為研究的重點之一。
第三階段是最為簡單的，把擬合的參數調好之後，直接套入目標產品價格公式即可。這時候，因為只是單一產品，蒙特卡洛，PDE，解析解，各路神仙都可以大顯神通了。從奇異衍生品形式來看：高維度多資產標的的衍生品，在沒有解析解的情況下，一般沒辦法，只能跑蒙特卡洛；而某些路徑依賴產品，低維度標的的barrier與American，都可以使用PDE方法求解，依據是dynamic programming principle；而像亞式、回望等等強路徑依賴產品，定價就要訴諸蒙特卡洛了。當然，這一切都要看模型，有的模型性質很好，奇異期權也會有解析解，但這種模型往往因為太簡單，會缺少描述客觀事實的一些能力，比如GBM。
後來想到什麼再來補充。
個人的感受是，很多國內的金融學生只知道背數學公式，並不知道這些數學公式背後的原理是什麼。簡要說一下金融資產定價的經濟學基礎。
當你給金融衍生品定價時，你就像一個法官一樣，在進行「民事調解」。你定出來的價格要使得金融資產的買賣雙方都感到公平，也就是說，盡義務的一方要有適當的補貼，得到權利的一方要付出適當的價格。不然，有一方「沾光」了，市場沒有達到你情我願（均衡）的狀態，交易無法進行。那麼數學金融是怎麼定義「沾光」的？它被稱為「無風險套利」，也就是在交易初始期，你通過無風險借貸等手段買賣被錯誤定價的金融資產，在期末拿到確定的收益。有風險的「套利」（在現實生活中出現的監管套利、統計套利）不在這個範疇之內！
這個價格（補貼）怎麼決定呢？無論是風險中性定價，還是無套利定價，用的都是最基本的經濟學定律：供求均等，市場出清，大家都願意支付這麼一個價格，交易則可以進行。當你運用公式對資產定價，你便是有效市場（Efficient Market）理論的信徒。為什麼這麼說呢？試想一下，假設很多聰明人都去進行這樣的無風險套利，定價偏高的資產需求會減小（因為大家都賣空它來構建無風險套利組合），定價偏低的資產需求會增大（因為大家都買入他構建無風險套利組合），這麼一來二去，資產的價格便會歸攏它的均衡值，也就是無套利價值。我們運用BS等公式定出來的衍生品價格，正是這樣的一個價格。這和股票估值的原理差不多，大量的人通過匯總大量信息為某隻股票定出一個內涵價值（這就是大名鼎鼎的同質期望假設），然後通過買賣股票尋求價值回歸，當大家都這麼做的時候，股票的現行交易價格總是等於內涵價值。
不同的是，確定金融資產的內涵價值比股票要容易得多。金融資產的內涵價值被稱為「未定權益」（contingent claim），也就是進行交易的兩方總有一方會以某種形式欠另一個方一個「補貼」（或「回報」），這種權益的現值，便是金融資產的公平價值。
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金融經濟學是從非常本質的角度出發，來描述金融市場的：所有資產都由某幾個虛構的「arrow-debreu security」構成，擁有一籃子這些單個「arrow-debreu security」的組合，其效果和持有這個資產的效果是等同的。這樣總能確保一價定律（law of one price）的成立。arrow-debreu security如同物理學裡的基本粒子，能夠描述所有交易行為和資產價格。假設有兩個資產A和B，若市場是完全的，那麼他們肯定由「基本粒子」甲和乙構成（很簡單的道理，A資產由m個甲和n個乙組成，B由j個甲和k個乙組成，兩個方程式可以解出兩個未知數）。同樣的道理，所有的contingent claim也可以由甲和乙表示出來，因為他們是「基本粒子」！當你知道某個contingent claim由5個甲和3個乙構成，你又從市場價格解出甲和乙的價格分別是1和4，那麼這個contingent claim的價值即為17。這就是衍生品的定價過程，什麼replicating portfolio，risk neutural probability，萬變不離其宗，其實不是在解出這些基本粒子，就是在運用這些基本粒子構建新的資產！這些看起來玄而又玄的解釋，其實正是金融經濟學想表現的——世界的本質就是無數0和1的組合，像矩陣一樣。
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由此看來，金融經濟學（financial economics）和金融數學是密不可分的，而且是後者的基礎學科。剛才提到的市場出清，供求均衡，用的是金融經濟學中的一般均衡理論（general equilibrium），由此衍生出了一套金融資產定價的基礎方法論，比如Arrow和Debreu的state-price理論。
再往下發展便是定價的具體數學技巧了，十分簡要的總結一下。一開始要追溯到19世紀末Bachelier的金融資產回報正態分布的奠基論文。20世紀中期，隨即積分，尤其是伊藤清的ITO Fomula，為描述金融資產的回報和其定價提供了強有力的工具。20世紀中後期，black和scholes在merton的幫助下推導出了BS模型。這是當時第一個採用無套利方法進行定價的模型，所以有跨時代的意義。再往後便是席捲整個數學的測度論浪潮，很多複雜的資產定價被精確的數學語言描述出來。測度論的工具性遠遠大於實用性。它是一門跨越學科的語言，可以讓數學家和經濟金融學家看懂對方在說什麼。——————
答一半，下班再繼續寫。
核心原理是對未來的隨機現金流算期待，再對隨機風險進行補償，再對時間價值進行補償。
當然實際操作中沒人這樣算,因為兩種補償沒法測量。一般可以藉助其他衍生品按無風險套利原則進行定價。
金融衍生品可以用來規避風險、發現價格。
衍生品定價，大概有精算定價、B-S模型、蒙特卡洛、時間序列分析等方法，其中會加入OrnsteinUhlenbeck 均值回復過程、傅里葉變換之類模擬產品標的變化過程。
例如天氣衍生品，在美國、加拿大、歐洲、日本等都有活躍交易。且產品種類很多，有關於製冷日、取暖日、降雪、降雨、颶風、霜凍等等的天氣衍生品合約，有天氣期貨、期權、互換。單是CME就開發了大概30種天氣衍生品。大多數只面向美國本土。
但是呢，溫度本身就有局域性，加上衍生品要考慮對衝風險和流動性，所以這類衍生品選取的標的城市也有要求。例如要經濟發展水平比較高、能源需求大、人口密度大，選擇的城市還不能太少。
例如，Monthly Weather Cooling Degree Days Futures
這類產品設計一般是建模、實證檢驗、定價，核心是建立指數預測模型。其實一般關於金融經濟學、衍生品、資產定價類的教科書都會講，例如John C. Hull的《期權期貨及其他衍生產品》、王江的《金融經濟學》、John.H.Cochrne的《資產定價》等等。
去年4月，中國提出，在廣東自貿區研究設立以碳排放為首個品種的創新型期貨交易所。在《我國碳排放權期貨產品開發研究》一文中，黃志剛等提出的合約設計師是這樣的。
參考， Bhowan A.Temperature Derivatives[J].University of the Wiwatersrand,2003
《我國碳排放權期貨產品開發研究》，黃志剛
John.H.Cochrane.Asset pricing[M]
請參看John Hull的Options,futures and other derivatives.這裡面講的非常詳實。
The price of something is the cost of replicating it.
我最近深深地意識到自己的數學限制了知識的層次。我只能在數學三的就基礎上告訴你。它不是最對的，但是應該比較直觀。
衍生品包含期權、期貨、互換（互換可以看作multiperiod的期貨）
一、期權。
期權的定價來源於binomial model（二叉樹模型貌似叫）。假定你預計未來的股票價格有兩種可能，那麼你持有的期權也有兩個payoff（不是profit，只是你收到的錢）：0（價格低於執行價格X時你不行權）和Pt。這樣實際上不管價格如何你有一個無風險的收益。把這個收益折現，減去股票的價格P0，再除以你所擁有的期權數，就可以計算出期權應該的成本。
深入的探討還涉及hedge ratio的問題。它的內在含義是，每一份期權，你需要多少股票來保證你的最後的收益是無風險的。
這個模型太簡單了。如果把這種模型擴展到多個時期，就是所謂的dynamic hedging，然後你從最後的無風險收益一步一步倒推，總能找到的。
但是這畢竟太複雜了。用計算機演算法可能都顯得無聊。(實際上，很多人也使用，或者它的variants）
於是，有沒有通用的公式可以來解決期權定價的問題呢？經過多年的探索，Black和Scholes發表了關於期權定價的論文，提出了Black-Scholes formula。這個公式其實很好記。很直覺，但是使用的是很高級的數學。它實際上是我認為最靠譜的模型之一了。它的高級版本當然有時候更靠譜。
二、期貨
期貨的定價和現貨是聯繫在一起的。有一個簡單點的公式就是spot-futures parity relationship（或者叫cost-of-carry relationship）。
它的直覺是，期貨相對於現貨來說，有其優勢：不用馬上交錢，可以把這個錢拿去買國庫券，但是你損失掉了股利或者利息（沒有股利或者利息的就沒有）。所以期貨的價格應該比現貨高。並且足以抵消這個advantage。不然就會有套利。
有了這個之後，多時期的期貨定價可以類推。不同時期的期貨定價可以類推。
對於農產品（受季節影響的產品），可以使用discounted cash flow(DCF)的辦法。這個要使用CAPM或者APT，使預期現貨的現值等於期貨的現值。
三：遠期
遠期和期貨沒有區別，其實期貨就是遠期里的一種，但是期貨是marking to market。所以期貨的價格可能會背離我們的平價關係，但是遠期不會。
四：互換
互換就是multi-period的期貨。
這樣的定義我覺得最準確：互換就相當於共同定價的到期日不同的期貨portfolio。
因此，讓這些期貨執行價格的現值等於互換的價格的現值，就可以算出應該的互換價值。
在這種以高等數學為基礎的數學範圍內，一個人對定價能了解的程度，可能就這樣了吧。我最近因為這種限制很苦惱。
這個問題大到可怕。把研究這個問題的論文及著作圍起來可繞地球三圈。
基本上對衍生品定價方式有兩種，
1，估算到期價值
2，把到期價值折現到現在
因為把到期價值折線到現在有普遍適用性，所以一般都採用後者
在計算過程中，各種定價模型在做無套利假設，計算未來的折現率（DiscountFactor），標準偏差（volatility）和相關性（correlation）側重和方法都各有不同，難以詳細展開。
基本原理是通過傳統金融工具構造與衍生品功能相同的投資組合，因這個投資組合與衍生品工具的作用同，根據一價定律這個投資組合的價格就是衍生品的價格
我就不告訴你什麼是二叉樹模型，什麼是BSM模型，什麼是折現模型，什麼是定量分析，啦拉啦拉啦～～～嗯，市價最終取決於長短，哦不，多空雙方的博弈。
很多人都說了什麼叫做衍生品，但是都沒有說出衍生品的作用是什麼。在我看來，衍生品的主要作用是用來對衝風險的。所謂風險就是未來的不確定性。人們為了處理這種不確定性就採用了相對確定性的衍生品來做對沖。既然這些衍生品是用來規避風險的，那他一定有一定的價值，這個價值是多少就是衍生品如何定價的問題。 這裡就涉及到衍生品定價的一個重要原則，那就是無套利原則。因為你將不確定的事情轉換成了確定的事情，也就是說你的收益下降成了在無風險下的收益，所以衍生品的價格就應該是你原來的風險premium減去你的衍生品價格使得衍生品和標的資產的價值總和是無風險下的收益。
詳見 金融工程這本書。鄭振龍主編
若是在二級市場交易的期權， 價格還是基於供求關係
衍生品定價這個問題，研究專著加起來足夠繞地球轉好多圈了
如果你只是感興趣，買本「選擇，未來，和其他導數」，看看前幾章就行了
如果你想學這個，且想跳入金融這個坑，買本上邊的書好好讀，然後模擬盤開始練習吧，最後上實盤。定價模型有時候是不能反映一些比較奇奇怪怪的現象的，比如跌停敢死隊，比如妖嬈的pta，比如信息的不對等
許多回答已經解釋了無套利定價法（PDE方法和等價鞅測度方法）的原理，然而：
任何在定價前不考慮無套利和可複製（即完全市場）情況是否適用的都是耍流氓！！！
任何在定價前不考慮無套利和可複製（即完全市場）情況是否適用的都是耍流氓！！！
任何在定價前不考慮無套利和可複製（即完全市場）情況是否適用的都是耍流氓！！！
如果不可複製，那麼衍生品價格最終還是供求力量決定的。
一個很好的例子就是中國的50ETF期權，可以參考鄭振龍，陳蓉《金融工程》第四版，注意是第四版，聽老師說這一版加了許多結合中國國情的地方。現金流複製加複製成本
這些東西還是市場運行機制的大行情決定的，
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