研究衍生品的時候為什麼用幾何布朗運動來模擬股票價格的運行軌跡？
漂移率為什麼可以假設為不變？難道隨著價格上升不存在類似邊際報酬遞減的規律？
因為即使全世界都知道這個假設一定是錯的，你還是得從GBM入門，不然上來就levy過程還學不學了？GBM是一個構建無風險組合最簡單的思路，不然在不完全市場對沖是極其困難而且不存在的
另外我要不指名的噴一些人，既然知道假設是錯的不去完善假設學更多的東西，卻試圖用自己的主觀玄學代替然後開口閉口模型沒用，與民科無異。（說的再直白一點，就是討論期權定價時總有一類人，上來就說模型沒用假設是錯的。但是連怎麼構建對的假設和對的假設應該長啥樣都不知道，又不願意去學。自己能懂得到BS封頂，甚至連BS都整不利索，然後真讓他用什麼「對「的模型他就只能拍一個了。）
然後回答漂移率問題，那個不是價格的漂移，而是投資組合的自融資成本。一般成本是假設不變的或者變動不大的，當然如果變了也可以跟這變
嘻嘻，那是因為你剛踏進門檻，接觸到的期權類型還不夠豐富。
事情是這樣的，一般大家剛開始學期權定價的時候，主要目的就是為了給vanilla call來定個價，對於這種payoff相對來說非常光滑，又不依賴路徑的，BS完全足夠了呀，這個時候給你來個levy意義也不大呀，一般來說你會發現他們定價算出來的期權價格差別並不大。而壞處是非常顯然的，門檻高就不說了，模型的複雜性會非常阻礙初學者對於對沖思想的理解。
那麼問題又來了，什麼時候GBM就夠了，什麼時候需要更複雜的模型？
我們知道影響期權價格的主要是標的資產價格分布的形狀而不是位置（因為測度變換，也就是對沖），而GBM最大的問題在於對尾部風險估計的嚴重不足。這會導致這樣一個問題：對於deep out of money put，它的價值在GBM下總是接近0的，但是我們知道由於對極端情況的擔憂，他的市場價格會比0大一些。這會為做期權的人帶來一個困擾，因為對於OTC期權，PnL總是通過簿記來體現，那如果對book的估值採用GBM，deep out of money put的買方相當於買回來了一個價值為0的東西，一開始就虧錢了呀。除非對PnL無感，否則一般人不會這麼干。這個情況也就會倒逼大家用更複雜的模型來使得自己的book看起來更「值錢」。
事實上，各類vol smile model也就是為了描述更極端的市場情況，因為GBM在這些地方高度不可靠。對於一些期權，他們的價格對極端情況非常敏感，比如double no touch，crash put，不同模型下期權價格可以差20%不邀自答。
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一 為什麼要用GBM描述股價運動
其實很簡單，GBM（至少在一定程度上）符合人們對市場的觀察。例如，直觀的說，股票的價格看起來很像隨機遊走，再例如，股票價格不會為負，這樣起碼GBM比普通的布朗運動合適，因為後者是可以為負的。
再稍微複雜一點，對收益率做測試（ S(t)/S(t-1) - 1）做測試，發現，哎居然還基本是個正態分布。收益率是正態的，股價就是GBM模型
總之，就是大家做了很多統計測試，發現假設成GBM還能很好的逼近真實數值，比較接近事實。所以就用這個。
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二 歷史上怎麼發展的
其實將精確的數學模型應用到金融的時間非常短。最早是1952年的Markowitz portfolio selection. 那個其實就是一個簡單的優化問題。後來的CAPM APT等諸多模型，也僅僅研究的是一系列證券，他們之間回報、收益率以及其他影響因素關係，沒有涉及到對股價運動的描述。
第一次提出將股價是GBM應用在嚴格模型的是black-scholes model (印象中是，不對請指正)。在這個模型中提出了若干個假設，其中一個就是股價是GBM的。為什麼？基於上面所說，無論是直觀上還是統計上，至少在當時很有意義，可以接受，比先前理論發展更多。
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三 漂移率為什麼可以假設為不變？
其實GBM也沒說漂移率不變好么。。題主的意思應該問的是black-scholes model裡面為什麼漂移率不變。
任何一個模型都是一個由粗糙到精細的模型。Black Scholes Merton 以天才的智慧提出這個模型已經是非常了不起的成就了，總不能要求他們一步到達完美。在最初的時候，為了推演的方便，以及剔除一些不必要的細節，他們提出了比較強的假設。靠記憶大概這麼幾條：
1. 股價是GBM
2.收益率（也就是漂移率）和波動率是隨時間不變的
3.沒有分紅
4. 無交易成本
5.連續交易，股價都是連續可分的，無最小交易單位限制
其中你看到，2-5其實都是與實際不符的，只是為了數學的簡便暫時先限制住。後來，自然會有人放寬這些假設，研究更接近市場真實的模型。
關於第一條GBM，也不是總對。很多檢驗發現其實離GBM差的還不少。比如一個例子就是厚尾（fat tail）。舉例來說對於正態分布，離中心4標準差以外的概率基本為0了， 而真實中極端事件發生的概率遠大於這個值（動不動百年一遇的事）。所以GBM也有局限，所以後來用levy過程來表述股價運動。當然進一步他也有局限，那再發展。。。好吧這就是科學研究的過程。
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四 這樣做有什麼好處
主要是從數學的角度說的。布朗運動是隨機分析的最最基本，一切都是基於他延伸的。有一系列一整套完整的理論和體系支撐。比如Ito process最初不是為了金融研究的，就是隨機分析的理論。。。結果現在鋪天蓋地用在金融里。
包括其他的比較完善的理論，鞅理論，markov過程等，都可以現用。很方便。
另外，GBM其實簡便易用，沒有什麼特別複雜的地方，在實際中也很方便。上面說的那些不斷的進一步精細，其實多只是理論文獻。
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五、其他
難道隨著價格上升不存在類似邊際報酬遞減的規律？
這是black scholes的一個基本結論，面試里常會問到的。o(╯□╰)o
-- tell the factors determining option pricing.
-- volatility, drift rate, and... emm... return...
-- WTF??
-- wait wait, look what a fine weather...
點贊吧。
簡單回答：GBM假定含馬爾可夫性質，不管貴州茅台今天是5塊還是500塊，明天的期望回報都是1%。
一、根據傳統資產定價理論，資產的期望回報率僅僅取決於它的風險，資產的異質性方差不影響期望回報率。這裡所謂的風險，指的是資產定價理論所要解釋和尋找的風險，例如：CAPM中的系統風險，APT中的因子風險，決定資產期望回報的是該資產與這些風險的相關性，即beta係數，和每單位該風險所帶來的額外回報率，即風險溢價risk premium，而與資產的其他因素都沒有關係。因此假設漂移項為參數是合情合理的，而且所有資產回報過程的漂移項、波動率和無風險利率都必須符合一定條件，即漂移項減去無風險利率除以波動率都必須是相等（這裡假設擴散項是一維的，波動率是標量），此時才能存在無風險測度，同時也不存在套利機會，才可以利用股價回報率的漂移-擴散運動對期權進行定價。
二、現實股價肯定不可能完全吻合GBM，需要進行修正。只要在數學上證明你對回報率的隨機微分方程的設定與無套利機會不矛盾，滿足所謂的資產定價基本定理，就可以用來對期權進行定價。你可以對擴散項進行進一般化處理，比如引入數學上更一般化的levy過程。當然GBM的一個優點就是它有閉式解，算起來很快，而且數學上不太難；如果採用更一般的過程，就需要解偏微分方程或者採用模擬算分，這就很麻煩額，而且數學上也很難學。
三、股票期權，以往和現在，在金融市場上都不是重點，甚至在衍生品領域都算不上太重要。Black 和 Scholes的論文當年投稿的時候一直被拒，因為編輯認為期權這種東西不是什麼重點，後來Scholes的老闆Miller幫了下忙，最後發在芝加哥大學自家開的JPE上，該文的學術價值還在於 corporate liabilities 這部分，他開創了金融研究的新方法。
隨便說說：
a.把公司價值設定為GBM，就可以發現股權是一種看漲期權，這樣就可以同時定價股權和債權。然後Merton就繼續了該工作，發展了違約風險的結構化方法。也可以設定一些非金融資產為隨機過程，這樣就是著名的real option，在公司金融上很管用。一大部分與風險有關的變數都可以用隨機過程來表示，產生了金融學和經濟學上大量的結構化模型，
b.衍生品中利率衍生品和信用風險衍生品是重點，比如次債危機...,上面一套方法可以用來對這些產品做定價，這是金融工程中非常重要的一塊。光利率模型就是很大的一部分，難度也不小。不搞出個自己的模型，叫自己quant，臉不臉紅？
c.學術上講，資產定價的重點是股票、股票、股票！！！！而不是衍生品。因為股票的回報率問題已經把金融學家煩死了。因為簡單方便，結果也並不差。其他也有所謂更接近實際的模型，但是這些模型結果並沒有多大實質性的改善，計算複雜度還提高了很多，使用上完全得不償失。知道這個模型的缺點和局限性就行了。
而且大家都在用基於幾何布朗運動的模型，便於交流、交互。例如直接用隱含波動率代替價格報價、BS模型推算出來的隱含波動率是很多定價模型輸入的參數等。你用其他模型算出來的就只能自娛自樂了。
補充一下樓上各位同仁們的回答（抱歉，沒有中文的）。
1.為什麼資產價格走勢類似於random-walk？
因為成熟的金融市場近似弱有效，公開信息馬上會反映在股價中，買賣方力量幾乎總處於針鋒相對的平衡狀態。去年得諾獎的fama老先生在這篇經典文章里講的非常清楚。fama_1965 THE BEHAVIOR OF STOCK-MARKET PRICES_百度文庫
2.為何不假設漂移率為可變的？為何不假設邊際報酬遞減？
這個問題我相信很多人都會有疑問。因為現實生活中的利率總是在變化，隨著股價上升，人們也會有恐懼感而發生拋售行為。但是，西方科學裡面的數學建模講究「簡潔」(parsimonious)，所有被奉為神明的模型都有個共性：一切參數都是從簡的。越一般化的模型，普適性反而越強，很多複雜的模型甚至連最一般化的模型都戰勝不了，有點像「奧卡姆剃刀」原則。從這些基礎模型上衍生出來更複雜的模型，往往都被冠以「Ad-hoc」（特定的，專有的）之名，因為你不能確定它們到底是改善了原模型的效果，還是因為樣本選取所造成的偶然現象。
你想到的這兩個人假設，其實早就有大量學者去做了，而且效果還比BS好不少（一般都拿BS模型的表現為基準）。不光這兩個，每年都有無數人去嘗試更複雜的假設，來證明自己的模型比BS好。比較尷尬的是，直到現在，BS模型還是最廣泛被採用的，從來沒人敢用這些學霸們總結出的新模型，為什麼？就是因為它簡便、簡潔、簡單。當然，很多投行和銀行也在採用改良的BS模型，那就是機構自身preference的問題了。最早的工作始於Bachelier，他用的就不是GBM，是最簡單的布朗運動。
所以，你也可以用其他的model。drift和volatility都可以是隨機的，也可以是某種函數。也可以是其他形式的model。
使用GBM(幾何布朗運動)預測股票價格的前提是我們認為效率市場中價格隨機行走, 價格形成遵循Markov Process(馬爾可夫隨機過程),簡單說就是明天的價格只和今天的收盤價有關,而與之前價格無關.至於"漂移率的變化",有個概念叫異方差性(heteroskedasticity),有人發現了方差不是恆定而是隨時間變化的, 據公開資料光大烏龍部門的老大就是搞這個起家的(GARCH).布朗運動的特質是不可測, 股票價格也不可測, 自然有謝耳朵之流想到用布朗運動去套, 新一點的還有用空氣動力學模擬股票價格的. 行為金融學中有個詞"magic thinking", 我認為是以上行為的最好註腳
剛學到這部分。。。
我覺得就像數學上的公理一樣，人們是在拿到了一大堆的歷史數據以後，在實驗了很多種的數學工具以後，發現幾何布朗運動最能貼近真實的現實情況，最後決定用幾何布朗運動，在維基上有如下的解釋：
使用幾何布朗運動來描述股票價格的理由:
- 幾何布朗運動的期望與隨機過程的價格（股票價格）是獨立的, 這與我們對現實市場的期望是相符的。
- 幾何布朗運動過程只考慮為正值的價格, 就像真實的股票價格。
- 幾何布朗運動過程與我們在股票市場觀察到的價格軌跡呈現了同樣的「roughness」 。
- 幾何布朗運動過程計算相對簡單。.
然而，幾何布朗運動並不完全現實，尤其存在一下缺陷:
- 在真實股票價格中波動隨時間變化 (possibly stochastically), 但是在幾何布朗運動中, 波動是不隨時間變化的。
- 在真實股票價格中, 收益通常不服從正態分布 (真實股票收益有更高的 峰度 ("fatter tails"), 代表了有可能形成更大的價格波動)
個人對這幾個理由的解讀也是「因為幾何布朗運動是最貼近事實的」 ，後面的缺陷也說明了，這個模型無法100%還原股票價格的運行，起碼在價格波動這塊，真實狀況會複雜很多。
我一直覺得這得和計量經濟學聯繫，幾何布朗運動就是一個R^2相對較高的回歸方程，雖然無法100%貼近事實，但是能解釋大部分的股價變動，對於股票價格這麼一個複雜的運動來說，能有一個能描述絕大部分內容的工具我想已經很不容易了，拿來定價應該也是目前情況下最好的解決辦法。
我剛學這兩門課不到1個月……很多地方說不清楚，也沒有什麼高深的見解，只是有些地方有點朦朧的直觀感覺……若是這個答案有很大的紕漏，求摺疊……
另外我想順帶問一下：幾何布朗運動真的是拿來描述股價的么？為什麼我們老師和我們說的是收益率（我也覺得更像是來描述收益率的）？ 畢竟 dS/S 更像是一個百分比 ，大體上來說，隨著時間長度越長，收益率應該是越高的，且時間越長，波動程度也應該越大
股價不能為負，所以不能簡單的如利率一樣假設為正態分布。而股價變動率可以很好的被正態分布描述，所以股價的stochastic process胃GBM。
補，
樓主對問題提法有問題。
金融數學裡面，將大家經常看到的衍生品定價「初級」內容，統稱為「B-S world condition」，關鍵就是常數的
所以研究衍生品的時候，用幾何布朗運動是幾十年前的事了。
研究的工具主要是隨機微分方程。系統一些的書，Philip Protter 寫過一本。大家知道的隨機過程是包含了它的更廣的一類，常見的還有馬氏鏈，排隊論中的計數過程等。
————————————————————————————————————————————脫離了統計學考慮"統計學"問題，都是...
Random Walk，股價按tick的波動，上上下下，恩，看起來真像。
中心極限定理 （沒有比這個定理更能描述正態分布的了）
然後，Bachelier覺得連續時間下的模型才更貼合實際啊，告訴大家試試用布朗運動（BM）吧。
布朗最開始提出的問題，維納與愛因斯坦都對其理論化(就是dt, dW什麼的到底在幹嘛的過程)過程有貢獻
接下來是就是幾何布朗運動（GBM），為什麼？因為股價沒有負的啊！GBM天然地能解決這個問題，並且
- 好求解，好解釋。
- GBM的解
和股價能聯繫起來後能好用嗎？能！我們可以注意到，
，我們常常會在一些金融學的計算中看到大家直接對價格序列取個對數，然後一差分，就說這是收益率，根本上是這樣的（Properties of the increments），
假設
，
（這就是收益率），那麼
（泰勒展開），這就好了（我試過，股票日收益率基本上小數點後3位能近似）。首先，我這個X收益率（所謂的對數收益率）是正態的，類似地可以囊括對有效市場的描述，其次，它是可有可加性的（大家試試不同時間段加起來，就是整個時間段的了），CFA大俠們只用掐指一算就可以有收益率了，SellTrading的時候多方便啊。
我們在課本中談到的各種優秀性質與這些模型的創建是有種很微妙的關係的，沒有 誰包含誰的關係，我覺得它們是螺旋前進的。這是一種研究者在反覆地探索的過程，共同目的就是開拓理論的疆域。但是，這些模型是真理嗎？我覺得只是工程問題，還算不上理學的範疇 : ）。
因為他們覺得這樣好用!
樓上優點說全了，我開拓個思維:其實你完全可以自己走一個隨機路徑的，只要你覺得好用。但是獲得公認則是有難度的。現在的金融工程基於幾何布朗運動和bs模型，你也完全可以提個拉屎撒尿運動，做個sb模型，自己玩。
金融工程畢竟不是科學，不存在絕對公理，所以還是得玩
幾何布朗運動並不能說就是真實刻畫了證券價格，但從實踐經驗來看它是比較接近實際並且有較好計算性質的一種模型。而且幾何布朗運行只是刻畫的一個基礎，在此基礎上可以衍生出伊藤過程等等，即帶有趨勢的隨機漂移，或者其它一些帶有均值回復特徵的過程，如奧斯坦－烏倫貝克過程，這就是針對你說的邊際報酬遞減規律——雖然金融學上並不這麼稱呼，你可以叫它均值回復特徵。
更深入的討論涉及鞅變換——試想，如果所有的證券收益率都可以通過適當轉換變成一個維納過程，那該多方便。
記住：目前來說，無論經濟理論多麼高深，它總是離不開假設與抽象。這裡涉及到一個數據生成過程（DGP）的問題。舉個栗子：
物理學家想要研究某個對象的物理性質時，往往需要在特定的條件下進行重複試驗，但金融數據具有唯一現實性（唯一的，已實現的），所以我們需要從歷史數據中找到它的DGP，這樣才能利用DGP去模擬足夠多的數據來進行重複試驗。
當然，知道了我們需要DGP還不行，還得確定DGP的模型，這個模型最好，簡單（參數少）、貼切（能反應金融數據的一般特徵）、實用（擬合和模擬效果好）。
結合前人的研究成果（例如fama：收益率數據滿足幾何布朗運動）以及幾何布朗運動的一些性質（樓上各位大神已說明，我就不重複了），所以這玩意兒很流行，而且很有用。
這只是個開始，以後還會遇到各種隨機過程，各种放寬假設後的模型。。。
Though I am in a quant finance program, I have decided not to pursue quant jobs as my career. With all due respect, the more I learn about finance, including quant fin, the more I believe it"s not the core of the financial markets, though they are extremely crucial in derivative pricing, trading and risk management. It"s all a matter of choice, but I reckon now that I"ve learnt a lot about Brownian motions stuffs, it seems like a waste if I don"t share them with people. So bear with me and let me give you my understandings.
Intuitively you should find it easy to understand why stock price S(t) follows a geometric Brownian motion. By Ito"s lemma, you will get the stochastic differential equation of the GBM S(t) to become dS(t)/S(t) = ln[S(t)] = stock return = alpha * dt + sigma * dW(t). (Note that you can ONLY get this stuff if stock price follows GBM. You wouldn"t pay too many efforts to prove it.) Well, that "alpha" is nothing more than the average return of the stock (here, a stock"s average return is alpha, not risk-free rate. Save risk-free rate for the purpose of pricing a stock derivative using Monte-Carlo). You can think of it as the compound return that you consistently earn from a stock (well, only fabulous stocks can give you this kind of return, lol. If you buy Huishan Dairy, then forget about any Brownian motion). The sigma part is the only uncertain part in a stock price process, because it has a Wiener process W(t), which follows N(0, t). You will find it make sense if you think about it: on average, the stock return will just be the average return alpha * dt, because E[stock return] = E[dS(t)/S(t)] = alpha * dt. However, the stock returns are volatile and moving around all over the place when it is traded; thus, those smart finance guys just said "why don"t we add some random favor in it and make the stock returns to follow some normal distribution?" So wham! We have the sigma * dW(t) part, indicating that the stock is moving around the average returns. It also illustrates the so-called "mean reversion" phenomenon. You might wonder if this crazy model makes any sense in real world. Trust me, it indeed makes some sense.
There are some great stocks in the market that look exactly like a geometric Brownian motion. For example, the stock price of Tencent.
It"s a pity that I can"t upload any picture here. You can search for Tencent"s stock price diagram and click "Max", and it will blow your mind: it looks exactly like geometric Brownian motion.
Some people argue that the model is wrong. Of course, all models are wrong, but some are useful 
我反正不用，幾何布朗運動基於量子理論屬於處於無限加速的粒子運動。所以不會有邊際報酬遞減。一個無論什麼股價買入，期望收益率都不變。很好理解，韭菜無限割當然無限加速。這套理論確實荒誕得可笑，既然有無窮遠處收益率一定大於存款利率，還衍生品定價個毛線，永久持股就好了。無窮遠處波動還無限大，無窮遠處的股價比正無窮還要無窮。
我非常支持伽馬定價，波動既影響股價，又影響收益率，定價形式比幾何布朗更簡單。
這就像股票價格中的隨機漫步理論，理論性非常強，我個人不太喜歡這類理論，它純粹只給出價格高低的出現概率和範圍，實用性不高。歷史是可以重演的，如果不可以那技術分析的意義在哪裡？市場如果是強勢有效，哪怕半強勢有效，那麼用隨機數列來研究價格都沒有太大意義。
因為是做研究，不是做交易。
本答案不具有普適性，只限於讀過Hull「Options.Futures.and.Other.Derivatives.」這本書的讀者。
要肯定題主的是，題主你想的是對的哦，漂移率確實會變。題主有沒有想過，到底漂移率是什麼？
Hull 的書里（chapter 14.3）有講到，並不是漂移率不變（事實上漂移率會隨股票價格S變化而變化），真正不變的是收益率期望 。
如果不懂廣義維納過程是什麼的話，把Hull的書里第十四章前面兩個小節補上就知道了。
14-7里的意思是（股票價格的變化/股票價格) 與兩個因素有關，一個是確定項
， 另一個是隨機項
，也就是說，股票價格的變化/股票價格除了有一個確定性的趨勢，還要加上一個隨機項波動，所以用幾何布朗運動來描述股票價格的變化是自然的，當然隨機項為什麼是
還是要歸結到維納過程，所以還是把Hull的書里第十四章前面兩個小節補上吧。括弧微笑
在Q測度下，幾何布朗運動加上漂移項是最簡單的，可以擬合資產運行軌跡的隨機微分方程。布朗運動又有正態分布的特點，股票收益率接近正態分布。
偏移項、可以加jump process,來貼切現實。不過基於風險中性測度，以及這個最初的隨機微分方程，不加跳躍過程會更popular。不是因為市場是GBM才用GBM，而是我們找到了如果市場是GBM我們就可以處理一些衍生品定價問題的方法。至於是不是真的GBM對衍生品建模來講並不是很重要的問題。這就像一個基準，或者問題的一個一階近似。
完全沒聽過，不知道網友學的是什麼版本的教材。股票是幾何布朗運動？沒錢你倒弄個股票布朗運動給我們股民看看呢？這種假設你們不覺得不對勁嗎？
我覺得有點走火入魔的感覺。
索羅斯的反身性，應該是目前更貼合實際的觀點。
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