為什麼變分法的教材這麼少？還有變分處理的不是泛函么？為什麼泛函的教材一點都不涉及這個？

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我曾搜索時看到有人說變分法是過時的內容，這是什麼意思？
剛查到阿諾爾德的《經典力學的數學方法》中有講這個，另外錢偉長的《變分法和有限元》也有講，不過比起那些數學系一二年級課程的書籍來說實在太少了，還有我查到的許多教材都是英文的，我聽說高級數學內容基本只能找英文教材了，難不成變分法屬於高級內容？諸位可不可以給點學習指引——就是推薦本深淺適中但不失嚴格的教材？

[2014.10.21]偶然回到知乎第一個回答，於是我來稍微補充幾句好了......
首先我需要解釋一下, 在數學中, "變分學"一般不當作一個專門的分支, 而是作為一大類處理分析學問題的方法而出現的. 在理論物理中, 一般只關注Euler-Lagrange方程, 但是在穩定相位等等問題中還需要關注更加艱深的的內容.
變分方法在理論中永遠不會過時, 但是在教材中很難涉及到變分法中比較高級的內容. 原因很簡單: 這些高級內容太難了. 一般的數學物理教材僅僅止步於Euler-Lagrange方程. 所謂"泛函分析(教材)不關注變分法"也是類似的原因: 因為線性泛函分析基本上是線性代數在無窮維空間上面的推廣(儘管無窮維空間同有窮維的有極其本質的區別), 所以它其實關注不到變分問題關心的能量泛函等等非線性的泛函. 而非線性泛函分析一般是不能納入First Course in Functional Analysis這樣的書裡面的, 因為一來沒有太系統化的理論, 二來太過艱深.
我姑且來簡要介紹一下和變分方法相關的數學問題.
偏微分方程: 這方面有一本特別艱深的書: Multiple Integrals in the Calculus of Variations, 作者是Morrey, 內容上基本上是關注變分問題解的正則性理論. 問題的大致形式如下:
給定一個泛函:
$J(u)=int_{Omega}F(x,u, abla u)dx$
(其中u一般要求是Sobolev函數), 何時這泛函能夠達到(局部) 極值? 極值函數的正則性(可積性, 連續性, 可微性或者解析性) 如何? 它屬於偏微分方程的近代理論中非常艱深的一部分. 它的應用自然是很廣泛的, 比如著名的Plateau問題(極小曲面問題).
微分幾何: 一個著名的例子是Jacobi 場問題. 它關注的是變分問題解的"整體"性質: 變分問題中泛函的臨界點什麼時候是整體的最小值點? 就單變數函數的情形, 我們就知道, 有非極值點的臨界點. 這種臨界點是很難處理的. 舉例來講, 考慮賦予標準度量的二維球面 $(S^2, g)$ , 在上面給定兩個點 $p,q$ , 則連接兩點的球面曲線長度是否有最小值? 是否存在唯一的曲線達到這個最小值? 翻譯成變分問題, 就是要尋找一條道路 $gamma:[0,1] ightarrow S^2, gamma(0)=p, gamma(1)=q$ , 使得泛函
$l(gamma)=int_{0}^{1}g(gamma$
達到極小. 這是平面上"兩點之間直線段最短"往一般的Riemann流形上的推廣. Jacobi場問題能夠比較清楚地研究這個泛函達到極小的可能性, 以及使得長度極小的曲線的唯一性.
幾何分析: 基本上是偏微分方程中變分方法在微分流形上的應用, 但是因為背景空間不是Euclidean空間, 所以比單純的偏微分方程問題還要困難得多. 這方面的例子簡直不勝枚舉. 應用比較廣泛的一個是調和映照問題(參考丘成桐的調和映照講義); 剛才提到的曲線問題可以看成是它的一個特殊情形. 它針對的是兩個Riemann流形之間的映射. 對於兩個流形之間的映射, 可以定義其能量泛函. 這能量泛函的臨界點就稱作調和映照. 所以變分學關心的問題具體到調和映照上面就是: 這樣的映照是不是存在? (給定了邊界條件之後)唯一性如何? 它們能不能讓能量泛函達到極值?
調和映照有著非常廣泛的應用, 因為它有比較好的性質. 例如, 它可以用來研究映射的同倫分類問題.
還有一個例子是曲面的共形形變中遇到的Yamabe問題.
我的觀點是, 變分法很難寫成一本足夠好的教材, 因為它需要涉及如上所述的這些知識才能夠算得上比較深刻. 但這對於教材來講太多了一點. 如果不寫入變分法的這些數學應用, 則又顯得太單薄.
所以我的建議是, 如果想要了解, 就多讀讀微分幾何和偏微分方程的書. 沒有什麼捷徑可走.

誰敢說變分法是過時的內容?我要和他對質。多麼無知！變分法是現代數學最為重要組成部分之一。
那位同學如果是經濟學的研究生，很可能會認為變分法已經被最優控制理論取代了。這是極其荒謬的。在基礎數學界，變分學的理論意義遠大於最優控制理論。
還有許多同學認為變分法只是最優化理論的分支，這種觀點大多也是從經濟學觀點看的。作為數理經濟學專業，我想說，以上觀點是非常片面甚至是錯誤的。
變分學同時為偏微分方程、微分幾何和最優化理論提供指導，並且是非線性泛函分析中最為龐大的分支之一。它在一般的本科泛函分析中是沒法介紹的。本科的泛函分析，其實是"無窮維線性代數"，連無窮維空間上的微分理論都不涉及，何談"分析"二字？故真正的泛函分析，其實應該從"非線性泛函分析"才算開始。現代變分學，其實就是"臨界點理論"，要學習這塊東西，除了紮實掌握本科泛函分析和研究生階段的非線性泛函分析以外，還需要微分拓撲學的基礎，譬如流形的橫截性定理和Morse理論，所有這些內容都遠遠超過本科所能容納的範圍。它太過艱深了。
對現代變分學（大範圍變分法/臨界點理論）有興趣的，我極力推薦張恭慶老師的《變分學講義》，學過古典變分法的同學可以直接從Soblev空間開始看起。這本書的起點不是很高，只需要本科實變函數與泛函分析導論、常微分方程和數學物理方程基礎的就能讀懂，不需要高深的拓撲學知識（雖說所謂的大範圍變分法就是變分法+拓撲學）

作為一個學習過大量數學課程的知乎新人來回答一下這個問題。

首先我想說明的一點是，在目前的經濟學研究中，其實最優控制已經逐漸取代了變分法。具體原因請看如下回答。

其實，變分法是並不直屬於泛涵的。

首先來分一下類。
數學中的動態問題可以分為Dynamic Optimization(動態優劃)，Dynamical System(動力系統)，以及Dynamic Programming(動態規劃)。
其中 Dynamic Optimization(動態優劃)又主要有Calculus of Variations(變分法)和Optimal Control(最優控制)兩種解決問題的方法。
所以變分法其實是屬於動態數學問題中Dynamic Optimization(動態優劃)的一種解決問題的方法。

再來簡單直觀的說一下以上提到的都是些什麼。
Dynamic Optimization(動態優劃)研究的是連續時間的動態問題，即時間是一直持續不停止的。Dynamical System(動力系統)研究的是一個軌道的變化，即一個變數按照一個給定的規律不停運動的過程。Dynamic Programming(動態規劃)則是研究離散時間的動態問題，即我們假設變數只在一定的時間段發生一次變化，可以是一周，一個月，一年，等等。

再來就是 Calculus of Variations(變分法)了。我們說了解決 Dynamic Optimization(動態優劃)問題主要有兩種方法。
其中， Calculus of Variations(變分法)是較為傳統古老也可以說是較為經典的方法。其核心就是鼎鼎有名的Euler Equation。在此核心的基礎上通過更加複雜的約束條件（比如端點自由，殘餘項，角點解等）引入了更加複雜的數學式子（如Transversality Condition等），這些較為複雜的東西這裡不做贅述。
而第二種方法 Optimal Control(最優控制)則是在變分法的基礎上得來的，但已經成為了現在做研究的主流（起碼在經濟金融領悟如此，其他領悟不了解）。其核心是將你要優化的目標和約束條件合為一體的Hamiltonian。和變分法類似，最優控制也有著諸多的拓展。之所以現在更多的使用 Optimal Control(最優控制)，不僅僅是因為其使用起來方便簡介，上手快，更重要的是因為Hamiltonian中的乘子在經濟學研究中一般有著極為重要的經濟學含義，可以給我們一些直觀上的啟示。

這些只是對變分法和最優控制以及其他諸多動態問題的簡述。如果想要具體學習，我在此強烈推薦Schwartz的Dynamic Optimization一書。這本書極其適合初學者。雖然是一本很老的書，但套路清晰，跟著書中的例子簡單走一遍，基本一天之內就可以明白最基礎的方法原理（當然，想要精通熟練還是要多加練習）。

以上僅是個人見解，歡迎指正！

一般數學系泛函分析教材主要講的是Hillbert
空間，Banach空間及有界運算元，如果講的快可能涉及一些在PDE的應用（學校教材是張恭慶的泛函分析講義上冊，我自己看的是Reed和Simon的泛函分析）。數學系學泛函很大程度上是為了後面的現代的PDE做一些準備，可能不太會強調變分法。我自己學了一點有關於變分的知識還是在黎曼幾何里學的。關於變分教材我知道張恭慶寫過一本《變分法》（現代數學基礎那套的）雖然本人覺得張先生的書。。。至少我不是很喜歡讀。作為分析盲如果口胡了，還請及時批判&>_&<

這應該從非線性泛函分析說起.

非線性泛函分析主要涉及5種方法：

解析方法（隱函數定理，分歧理論）
拓撲方法（Brouwer度，Leray-Schauder度）
半序方法（錐，增運算元，減運算元）
單調方法（單調運算元，增生運算元）
變分方法

變分方法是非線性泛函分析的重要手段，它來自Bernoulli最速下降線問題，古典變分將求泛函的極值的問題轉化為解Euler方程的問題，現代變分將解帶有變分結構的微分方程的問題轉化為泛函的極值，求臨界點. @DTSlo Shao舉了很多PDE和幾何的例子，我不再多言. 當然在物理、工程等上也有很多應用，但從純粹數學角度出發，我們並不關心這些，畢竟它們與真正的變分方法的理論比較遠……

另外，一些答主提到了幾本書. 在內地，最早是方肇直和田方增將非線性泛函分析引進來(儘管他們的工作並不那麼non-trivial)，之後按時間順序，這3個人的書起了開創性作用：蘭州大學陳文yuan（山原，sorry打不出來），山東大學郭大鈞，東北大學趙義純. 他們之後，非線性泛函分析在國內就逐漸繁榮起來，張恭慶等人的書就是在此之後.

我看的也是老老師（老大中，這個名字好奇怪）的變法法基礎，感覺挺適合初學者。

個人理解，變分法只是求最優化問題的其中一個方法，就像求函數極值的求導法一樣，可以直接看解決具體問題的教材，譬如最優控制或者一些物理教材

你看過老大中咩？

作為經濟學專業的學生，我學變分法的時候是和最優控制理論放在一起講的。

如果樓主對這方面的內容感興趣，推薦一本英文教材Dynamic Optimization，作者是Morton I. Kamien和Nancy. L. Schwartz。這本書前半部分是Calculus of Variations，即變分法的內容，後半部分是最優控制理論，向我們展示了在求解最優化問題的時候，兩者在很多方面是殊途同歸的。至於預備知識，微積分和常微分方程的內容掌握就夠了。

雖然是英文教材，不過這本書用語真的是很簡單，讀起來幾乎沒什麼障礙，但是其中的推導、證明過程也足夠嚴謹，而且例子也很豐富，非常適合自學。如果樓主只是單純地想了解變分法，不涉及到更高深的主題，這本書的前半部分應該是比較合適的。

推薦Calculus of Variations by GelfandFomin.

谷歌一下一對講義

剛看到一本個人感覺還不錯的變分法好教材《變分法基礎》北理工老大中編寫的，還沒認真看，但感覺真的不錯！好想學好變分！

吳迪光，變分法。推薦

最近也在學習變分法，我覺得老大中的變分法不錯，

第一章有很多預備知識，也很容易理解，比如數學分析中的極值問題，二元函數的一些性質，高斯公式、斯托克斯公式的統一形式，一些變分引理等。

相比之下，上課用的教材，卻是很難讀懂，見下圖

前面沒有預備知識，直奔主題，很多符號都沒理解啥意思，老師上課的時候也只是提一下。

感覺又要抄書了呢╭(╯ε╰)╮

變分法在數學物理教材中介紹的比較多，中文專著的話推薦老大中先生的《變分法基礎》，這個可以給學物理的人使用。而且實際上寫變分法的書不少，但是變分法和廣義函數論密切相關，大多是數學物理的專著才會深入研究，例如變分學，變分法與微分方程等。

@勃失敗

@鍾曉迪

哈爾濱工程大學，羅躍生的應用數學講義，裡面有泛函，變分法，數學物理方程，積分方程。

我們學校老大中好像搞這個

變分法很厲害的～有限元的理論基礎嘛。。

感覺控制理論裡面出現了很多變分的內容

張恭慶《變分學講義》，張這種大師眼界超高，很好！