為什麼平值期權的時間價值最大？

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很多資料都說平值期權的時間價值最大，原因是一般解釋只是說平值期權的投機性最強，流動性最大，最敏感，但好像還是沒法和「時間價值」掛上鉤啊？
到底如何理解這裡面的「時間價值」

謝邀。
1. Time Value = Total Option Value - Intrinsic Value.
At the money option的內涵價值為0，故time value最大。

2. time value還是到期時間（T-t）的增函數。

直觀的講，時間價值是期權價值中扣除內涵價值的那部分價值，實質是期權賣家向買家收的一筆「風險溢價」。期權成交越是活躍，對期權買家越有利，買家要求的「風險溢價」就越高（當然，是在時間不變的情況下）。什麼時候期權成交最活躍？at the money的時候。

古人云，「出來混遲早要還的。」
買的option，付了premium，每天樂呵呵的買低賣高，但是手上的option同時也越來越不值錢

理論上來說是這樣的：
假設利率為0
所以BS-PDE成為
$-frac{1}{2}sigma^2S^2frac{partial^2 V}{partial S^2}=frac{partial V}{partial t}$
時間價值指的就是右邊的部分。
左邊的部分 $sigma$ 被假設為常數， $(S+mathrm{d},S)^2approx S^2$ ,如果假設dS很小的話。
所以 $Gamma$ 部分最大的時候時間decay會最大。

trading implication:
1. 在高Gamma區域的delta變化速度比較快，記住盯好position。
2. 在高Gamma區域要多掙回theta上輸的錢

這...好吧。用數學推導一下就出來了只不過大家懶。先上個圖方便討論。（BTW，這是面試題吧？）

所謂時間價值（Time Value)就是期權價格和期權的內生價值（Intrinsic Value）之間的差。

所謂時間價值（Time Value)就是期權價格和期權的內生價值（Intrinsic Value）之間的差。
$TV = C(S_t) - IV(S_t)$
我用Call Option(看漲期權）舉例方便討論，看懂之後Put是同樣的道理。這裡假設你的期權的收益函數(payoff function)是一個關於股票價格的連續函數，至於為什麼在答案最後有講。還有你從我的公式裡面可以看出，我這裡已經假設利率，波動率，到期時間以及行權價是常數，不過我下面說的不需要這個假設條件，只不過在方便討論而已。

好了，讓我把上面公式再寫開
$TV = C(S_t) - ext{max}{S_t - K, 0}$

當 $S_t le K$ 的時候，內生價值為零，此時我對等式左右對 $S_t$ 進行求導就得到
$frac{d TV}{d S_t} = frac{d C(S_t)}{d S_t} = Delta(S_t) in [0,1)$
這個時候等式右邊不就是期權的Delta嗎？由於這是一個看漲期權，所以它的Delta是非負的，而Delta必須小於1。（我在答案最後有解釋）

現在我們來考慮 $S_t > K$ 的時候，這個時候期權的內生價變成 $S_t - K$ 了不是嗎？如果你再對等式兩邊求導得到的是
$frac{d TV}{dS_t} = Delta(S_t) - 1 in [-1,0)$

我概括一下
$frac{dTV}{dS_t} egin{cases} ge 0 S_t le K \ <0 S_t > K<br /> end{cases}$
換言之，期權的時間價值在期權是虛值的時候(Out of Money)的時候在隨著股價增加而增加，在期權是實值的時候(In the Money)的時候，期權的時間價值隨股價增加而減小。所以..時間價值在期權平值（At the Money)的時候達到峰值。

就是這樣，我還可以再嚴謹些，不過我懶了...還有看跌期權(Put)的情況反過來就好了。

為什麼Delta的絕對值不能超過1？
你可以拿著期權定價公式去看Delta小於1，但是我們同樣可以從直覺上來理解為什麼必須這樣。因為期權含有杠杠啊，而這是因為收益曲線是非線性的啊。好吧說通俗點，你看上圖期權的收益函數，也就是內生價值曲線，它最低就是0，換言之相比於股票來說你的最大損失是確定的了。而Delta表示的是期權價格相對於股票價格的變動速率，由於期權內生價值的非線性，當股票價格變動的時候，期權價格的變動要小於股票價格。
為什麼需要假設期權的收益函數(payoff function)是一個關於股票價格的連續函數？
當這個函數不連續的時候，比如說Digital Option,導數是不存在的，是無窮，這個時候Delta就不再絕對值小於1了，因為這個時候Delta是沒有定義的。

哎，搜索一下會死？雖然題目不完全一樣，但是答案里都給出了解釋的。http://www.zhihu.com/question/29775312/answer/45586474

時間價值主要取決於三個因素：
A 標的資產價格的波動性：通常價格波動越劇烈，潛在收益就越大。
B 內涵價值：指如果立即行權所帶來的現金流與0的最大值，max(S-k，0）or max(K-s,0)
C 剩餘期權到期日：一般越短，時間價值越小。

Time value+intrinsic value = option value 這只是期權價值的構成部分，如果單純的講時間價值就等於期權價值減去內涵價值未免太low。那時間價值的真正來源是什麼？

時間價值的定義是由於標的資產價格的波動性而給期權持有者帶來的潛在收益的可能性。
理解這一概念的最重要預備知識就是期權收益和虧損的不對稱性。

一般來講，不論是股票、期貨等基礎或者衍生金融工具，它們的收益虧損都是對稱的，這就是說，你虧的可能性和賺的可能性一樣。但期權的持有者由於在進入期權多頭寸時繳納了期權費，這就賦予了他在到期日是否行使期權的權利。如果行使權利可以彌補期權費，甚至多賺，當然會行使。但如果行使權利會增加虧損，則可以放棄這一權利，不行使。那麼對於期權多頭方來講，他的收益是無限的，但虧損確是有限的。

因此，他願意為了價格的波動多支付期權費，因為價格波動對他來講利大於弊！

平值期權的意思就是指行權價格和現貨價格是一樣的。這就表明你行使權利和不行使權利帶來的結果是相同的，都會損失期權費，S=K。這時，價格波動對你來講，百利無一害。如果你是看漲期權多頭，那麼S增大，會使你的虧損減少，甚至盈利。如果S降低，你就可以放棄權利，這時你還是只損失期權費。

這就表明，在平值期權中，你只有獲利可能，再無損失可能。因此，期權多方願意花更多的期權費，獲取標的資產價格變動帶來的好處，因此這個時候的時間價值是最大的。

平值期權在收益率的正態分布的頂點，稍微偏離下面積的變化是最大的，最有可能獲利的。

同意@張棟

扯點其他的，所謂最敏感，最具投機性講的是Gamma在at the money時最大

一般意義，期權到期，時間價值會歸零，但實際上，平值合約的期權會在到期日臨近的時候，會逆向上去。可以這麼理解，此時此合約的虛實度在0附近徘徊，炒家們為了博取大量的籌碼輸贏會在此時布局，但其實輸贏的成本很小，但籌碼很多。此時最受傷的應該是套利的人，所以一般套取時間價值的人會提前平倉，而不是到臨近到期日的時候平倉。