比較高深的數學在經濟學有哪些運用相當漂亮？

11-16

1.題主是一個數學系的學生，想了解自己學的學科的用處。
2.其實題主也是懂一點經濟學的，比較初等的微觀經濟學還是明白一些的，但是涉及到高深的思想概念就沒接觸過了。
3.這裡提到的數學不是簡簡單單的數學咯，比方說就一個圖表還是簡化到一次函數的，那種應用個人感覺沒太大意義。比方說，「彈性」就可以通過微積分定義成這樣e=P/Q*(dQ/dP)，個人感覺這就是比較值得探討一點的應用了。（恕我直言，除了那些邏輯性非常強的例子以外，個人感覺低於微積分水準的應用都談不上）
4.舉個例子吧，二重積分在數學和物理都是挺有用的——我還真不清楚能在經濟的哪一個模型——似乎用二重積分可以證明正態分布的歸一化，而高斯分布在經濟學應用挺廣的，但總感覺那不是直接的應用。
5.更為現實一點的問題，數學發展了許多子學科，什麼數論、複分析、抽象代數之類的，但完全不清楚能給經濟學帶來什麼啊。。也或許是我太孤陋寡聞了，至今只知道一個博弈論算上一點，雖然那個的確是相當漂亮的運用。

說句老實話，絕大部分的經濟學用不到什麼「高深」的數學，大部分都是一百多年前就well-developed的數學成果（當然像Ito』s Lemma之類的比較晚）。如果要歸納，無外乎幾大類：實分析 real analysis (see baby Rudin, or more advanced, Real Analysis by Folland), 拓撲 topology (mainly point-set topology, see Topology by Munkres), 測度論 measure theory (see Real Analysis: Measure Theory, integration, and Hilbert Spaces by E.M. Stein), 以及偏應數的optimization (see A First Course in Optimization Theory by Sundaram)，differential equations, probability theory including stochastic process and stochastic calculus (這方面的書太多了），當然還有更為基礎的像微積分，線性代數，set theory之類的就不提了，以及少部分的logic, abstract algebra（以及其它我不知道）的東西的應用。這些數學是一個數學系的稍微advanced一點的本科生完全可以學到或者有能力自學的，所以完全談不上高深。

在應用方面，肯定是做micro theory的，做theoretical metrics的以及做finance的人用到的數學最多。一些風格的macro (e.g. Chicago, Minnesota)也會很注重數學，具體可見宏觀數學工具書SLP。當然，對於比較rigorous的經濟學trainning，實分析就是基礎的基礎了。你沒必要必須是一個數學方面的expert，但最基本的background要有。

總的來說，數學是經濟學家用來表達觀點的一種較為formal和rigorous的語言，所以其實和英語沒什麼本質區別。國內的本科經濟學教育似乎不是基於嚴格的數學理論的基礎之上的，但美國的本科經濟學教育似乎又過於強調數學，使得有些人（比如說我）以為數學才是學習經濟學最為重要的部分，以至於忽略了對更為重要的「直覺」的培養。其實說白了，數學對於經濟學來說就是一個表達想法工具，甚至在很多過來人看來（比如敝系的V教授，當然他很快就會成為UPenn的V教授了），數學其實遠沒有英語重要。

這裡扯一點點比較relevant的題外話，本科低年級的時候，我覺得做theoretical math的人才是最牛逼的，因為他們能handle非常抽象的東西。後來，我覺得做theoretical economics的人才是最牛逼的，因為他們不僅能handle非常抽象的數學理論，而且還能用數學model人類的行為。再後來，我覺得做macro的人才是最牛逼的，因為在某種程度上，宏觀的一些思想已經可以上升到哲學高度了。一句話，在經濟學中，ideas是最最重要的。有了想法以後，你確實需要證明一系列的lemmas or theorems，或者寫一些程序run一些實際的數據去驗證你的想法。但這些都無法和」想法「相提並論。theorem證不出來，找個數學系的人幫你證就好了，code寫不出來，找個CS的人幫你寫就好了。沒什麼大不了的。

「想法」的重要性和奇妙性甚至還體現在純粹的經濟學領域的數學證明裡。其實真正漂亮的證明，並不是要用多麼「高深」的數學知識，而是能用簡單的數學表達出深刻的想法。比如mechanism design應該算是微觀裡面最難的部分了，VCG mechanism用到的數學實在是簡單得不能再簡單了，基本就是proof by contradiction，但表達的ideas（(1) it charges each individual the harm they cause to other bidders (2) It also gives bidders an incentive to bid their true valuations, by ensuring that the optimal strategy for each bidder is to bid their true valuations of the items）會讓人覺得很神奇。再比如Maskin』s theorems or Gibbard-Satterthwaite之類的，用到的數學知識也極其基礎，基本就是set theory以及反覆用事先定義好的幾個definition，但是證明的方法實在是很精妙。

下面舉幾個不太trivial的或許對題主有幫助的例子（但其實也就是很普通的例子啦。基本高級微觀都能學到）: 1. Fixed Point theorems in general equilibrium theory and dynamic programming 2. Measure Theory and large economies 3. Differential Topology and smooth economies 4. Arrow』s Impossibility Theorem and ultrafilters 5. briefly discussing a paper: Richter (1980)

1. Fixed Point theorems in general equilibrium theory and dynamic programming

Fixed point theorems應該算是algebraic topology範疇（當然，也可以用elementary multidimensional integral calculus and the Weierstrass Approximation Theorem直接證明），在經濟學裡的應用非常之廣。最有名的大概要數證明the existence of (mixed-strategy) Nash equilibrium for any normal form game了。思路很簡單，定義過best response correspondence之後只用check Kakutani (見下圖）的每一個條件就好了。鑒於之前已經有人提到過，這裡就不多說了。

另外一個很有名的應用是在一般均衡理論里，關於證明competitive equilibrium的存在。此處附上兩個existence theorems。Theorem里的Z就是aggregate excess demand function。第一個直接apply Brouwer』s fixed point theorem (確切點說是Brouwer的一個推論，見下圖），證明很簡單，所以附上。當然第一個existence theorem是有很明顯的局限性的。因為它只能保證aggregate excess demand小於或等於0，而不能保證excess demand一定等於0。第二個apply Kakutani』s fixed point theorem，證明要複雜的多得多，所以就不附上證明了。有興趣的話可以看MWG。

還有一個典型的例子是在DSGE模型里，我們都會有一個sequence problem，但由於objective function是infinitely many periods的，solution很難找。這時候通過一些額外的assumptions，我們可以把sequence problem轉化成一個solving functional equation的問題。這時候為了證明solution to functional equation的存在性，我們就用到了Banach』s Fixed point theorem (also called the contraction mapping theorem)。更詳細地說就是，你首先定義一個operator (具體例子如下圖）。

然後用Blackwell』s sufficient condition for a contraction去證明這個operator是一個contraction。最後再用contraction mapping theorem就可以證明solution to FE是存在的了。

2. Measure Theory and large economies

Large economies 也就是說there are a continuum of agents，motivated by non-convex preferences. 當preference不是convex的時候，我們不能保證competitive equilibrium的存在。但如果there are a continuum of agents (e.g. all the traders are in T=[0,1])，Aumann1964和1966年的兩篇Econometrica 證明了在一定條件下，即使preference連weakly convex都不是，competitive equilibrium仍然存在。其中一個至關重要的條件，就是preferences are measurable (i.e. open contour sets are Lebesgue measurable in T)。

3. Differential Topology and smooth economies

Smooth economies 主要是針對Sonnenschein』s conjecture提出的一個partial solution。 Sonnenschein』sconjecture 是一個相對很negative的結果，大致意思是說(loosely speaking)，任何滿足Walras』 Law, homogeneous of degree 1, 和continuity的函數都可以是一個aggregate excess demand function。這就導致了equilibrium price vectors可能連locally unique都不是，更別提unique了。我們通常能想到的應對這種問題的方法就是給individual excess demand function增加額外的條件，使得最終能夠保證equilibrium price vectors是locally unique的。但是很遺憾，Sonnenschein, Debreu, Mantel等幾個人證明了aggregate excess demand function僅能繼承individual excess demand function的部分性質：continuity，Walras』 Law, homogeneous of degree 1, and a boundary condition. 也就是說，任何aggregate excess demand function都可能induce 」bad-behaved」 economies. Debreu 通過使每個individual excess demand function是smooth的（i.e. continuously differentiable），以及一些別的條件，可以保證the set of 「bad-behaved」 economies是measure 0的，進而部分的解決了Sonnenschein提出的問題。具體地證明用到了differential topology的東西，感興趣的話可以看Debreu 1970的econometrica和1976的AER.

4. Arrow』s Impossibility Theorem and ultrafilters

我曾在一個答案里提到過 Arrow』s Impossibility Theorem主要有兩種證明方法（背景知識，具體見「阿羅不可能定理（Arrow"s impossibility theorem）」為什麼反直覺？ - Lichen 的回答），一種只用到了最基本的set theory，但過程比較tedious，另一種用ultrafilters的方法，過程簡化很多。總的來說，ultrafilter是一個用來capture一個set有多大的數學概念。最早是由匈牙利數學家Frigyes Riesz在1908年提出的。假設 H is a collection of 「large」 subsets of a non‐empty set N，我們很自然的會想到N應該在H里，但是空集不應該在H里。另外比較符合直覺的還有，如果A在H里並且A包含在B中，那麼B也應該在H里。進而就有了如下的定義：

要證明Arrow』s Impossibility Theorem，也就是要證明一個同時滿足（1）可以產生集體決策（2）Pareto optimality (3) IIA 的social choice function一定會導致獨裁。說白了就是你要在set of agents, call it N, 里找到一個dictator。利用ultrafilter的概念，我們只需要幾個簡單的步驟就可以找到了。

步驟一，我需要介紹一個叫做principal ultrafilter 的新定義：Let G be a nonempty subset of N. The principal filter generated by G is a set P={Z ? N | G ?Z} . P is called a principal ultrafilter if P is an ultrafilter on N.

步驟二，我證明一個lemma：If a principal filter P generated by a set G? N is an ultrafilter, then G is a one‐element set.

步驟三，我證明Every filter on a finite set is principal. 進而證明Every ultrafilter on a finite set is principal.

最後，我只要通過逐一check ultrafilter的定義就可以證明出the set of dictatorial sets 是一個ultrafilter。由於Arrow的定理里規定了set of agents必須是finite的，我就可以用步驟三得到the set of dictatorial sets是principal的。再通過步驟二，我知道the set of dictatorial sets是一個只有一個元素的集合。因此我就找到了一個dictator。對比Arrow原來的證明，你會發現用ultrafilter的方法可以把證明簡化很多。

5. Richter (1980)

Marcel K. Richter是我一直以來非常崇敬和愛戴的理論經濟學家。他無私地幫助每一個學生，open for any questions，對數學的狂熱，治學的嚴謹態度（具體可見Daniel McFadden談過的關於Richter的」three-paper Rule」)，以及一輩子堅持做理論（從未涉及應用方面的東西）都讓我由衷的敬佩。很多時候，我都不知道我該怎麼表達我對他的感激之情。時至今日，他已經過世將近一周年了，再次寄託對他的哀思。

總的來說，他是一個很善於用新的數學方法去簡化或者develop理論經濟學上的證明的一個人。典型的例子如他1966年的一篇econometrica （此處引用他的學生在Rationality and Equilibrium – A Symposium in honor of Marcel K. Richter 的前言里寫的評價：「A good representative of Ket Richter』s work is his 1966 Econometrica paper 「Revealed Preference Theory.」 This paper has had a profound influence, not only on the problem of preference characterization, but also on the use of powerful logical tools in economic theory. Using set theory and mathematical logic, it provided a simple, clear, and general method to address the topic of consumer rationality, which strongly contrasted with the complex alternative literature on revealed preference and integrability theory. 」）

這裡想簡單說一下他1980的這篇IER。Richter曾告訴我，這篇paper是他專門寫給學生們看的。他通過用點集拓撲以及set theory的一些知識完全簡化了Debreu關於continuous utility representation存在性的一個非常fundamental的theorem（具體見下面的截圖，只要學過高級微觀，是肯定會見過這個theorem）的證明以及Rader"s theorem concerning the existence of semi-continuous utility representation的證明，以此來告訴學生學習set theory和拓撲對於學習經濟學（或者更精確講，某些經濟學）的意義。

關於Debreu那個theorem的證明，基本思想是很簡單的（此處用英文簡單說一下）。Since every indifference curve of a complete preorder preference is an equivalent class, we can map it to a strictly linear ordering set where each element is a countable dense subset of the corresponding equivalence class. Then by using the very good property of quotient topology, we can map the elements of the strictly linear ordering set to the real line. The proof can then be established by Continuum Characterization Theorem by Fraenkel.

在此附上link，非常推薦有興趣的人讀一讀：Continuous and Semi-Continuous Utility on JSTOR

6. 一些話

感謝題主能夠提出這樣一個問題，給了我最初的motivation寫下這些段落。算是對於我而言的對一個時代的告別。雖然PhD一年級整整一年都被我荒廢過去了（即使是在複習qualify的時候），但我對於學習經濟學的理念還是發生了巨大的改變（換句話說，我原本的世界觀基本崩塌了）。很多人都和曾經的我一樣（包括一些數學系的教授），對經濟學有個誤區，以為數學學得好，經濟學就能很牛逼了。這實在是太低估經濟學作為一個學科的存在價值了。經濟學在成為一門science之前（當然這個仍有爭議），首先是一個關乎」人「的學科。即使再抽象的理論和模型，也是基於對現實世界中人類行為的觀察和理解。反過來，現實生活中的一些不太符合常規的現象也給了經濟學模型修正和解釋的空間，比如微觀上有名的Ellsberg Paradox或者宏觀里很有名的Equity Premium Puzzle等等。

從明天起，我就要開始學著從經濟學的角度思考問題啦~

References

(就不按正式的格式寫了，僅附上標題和人名。有興趣的話可以搜一搜）

Rudin, Principles of Mathematical Analysis

Folland, Real Analysis

Munkres, Topology

Halmos, Naive Set Theory

Stein, Real Analysis: Measure Theory, integration, and Hilbert Spaces

Sundaram, A First Course in Optimization Theory

Stokey, Lucas and Prescott (SLP), Recursive methods in economic dynamics

Aumann, R. J. (1964). Markets with a continuum of traders.

Aumann, R. J. (1966). Existence of competitive equilibria in markets with a continuum of traders.

Debreu, G. (1970). Economies with a finite set of equilibria.

Debreu, G. (1976). Regular differentiable economies. The American Economic Review

Arrow, A Difficulty in the concept of social welfare

Richter M.K. (1966), Revealed Preference Theory

Richter M.K. (1980), Continuous and Semi-continuous Utility

不太清楚什麼叫「比較高深的數學」。不過說幾個大路的例子吧，這些例子是經濟金融系老師教本科生時常拿來chui舉niu例bi子的：

Itō"s lemma 在證明 Black 時可用。

Asymptotic theory (statistics) 的各種結論在計量經濟學裡的大量應用。

各類Fixed point (mathematics)定理在博弈論中的應用（證明各類均衡的存在性）。

Markov process 在（主要是宏觀）里的應（濫？）用。很多並不了解隨機過程的人也強行用。

Martingale (probability theory用來（強行）驗證有效市場假設。

在研究經濟學領域中，Christopher A. Sims1971年在《The Annals of Mathematical Statistics》上面所發表的《Distributed Lag Estimation When the Parameter Space is Explicitly Infinite- Dimensional》應該可以算是吧...
在JSTOR上的詳細鏈接為：
http://www.jstor.org/stable/2240286?Search=yesresultItemClick=truesearchText=DistributedsearchText=LagsearchText=EstimationsearchText=WhensearchText=ThesearchText=ParametresearchText=SpacesearchText=IssearchText=ExplicitlysearchText=Infinite-DimensionalsearchUri=%2Faction%2FdoBasicSearch%3FQuery%3DDistributed%2BLag%2BEstimation%2BWhen%2BThe%2BParametre%2BSpace%2BIs%2BExplicitly%2BInfinite-Dimensional%26amp%3Bprq%3DThe%2BAnnals%2Bof%2BMathematical%2BStatistics%2BChristopherA.Sims%26amp%3Bgroup%3Dnone%26amp%3Bacc%3Doff%26amp%3Bwc%3Don%26amp%3Bhp%3D25%26amp%3Bfc%3Doff%26amp%3Bso%3Drelseq=1#page_scan_tab_contents

該文章的數學應用厲害之處應該就在於即使將無窮維參數空間去掉而縮減變成有限維，乃至將無窮空間降階為低階模型，加上模型內的以內生變數滯後值作為所有內生變數函數的假設，就可運用於將一個單變數自回歸的模型修正為多變數的向量自回歸，而後者在經濟學中有一個，人所周知的名字就是：VAR...
也就是說，當年Christopher A. Sims將這篇討論經濟問題的數學論文的難度層次與假設即使降之又降，結果卻還是成了一個偉大的諾貝爾經濟學獎作品：向量自回歸模型...其本人也憑此躋身於諾獎獲得者序列，而VAR模型至今在計量經濟學中運用普遍，影響深遠。

各種段子不是傳說他在這篇文章寫完後，知道世界上沒有哪個經濟學期刊的審稿人可以看得懂所以才投稿到了數理統計年鑒上，「投給了最牛B的數理統計雜誌，結果編輯死活找不到審稿人，最後好不容易湊合拉來一個，審稿報告是這麼寫的：「我真的不明白這篇論文在說什麼，但是我檢驗了其中的幾個定理，好像是對的。所以我猜應該發表。」不知道這個故事是不是真的...

大多數經濟學論文的證明寫的髒的要死，可見即使不運用高深的數學工具，很多經濟學家的數學能力也是值得懷疑的
看Ariel Rubinstein吐槽那些因為不會簡化美化自己證明搞得論文幾十上百頁長就知道了（按Ariel Rubinstein的想法，好論文應該在20p左右）

當然有些領域（e.g. repeated game ：Takuo Sugaya）可能因為沒辦法所以總是很長，這個另當別論（就算如此也會想著如何縮減頁數的，二老板今年剛寫完100p+的論文，上次還和我吐槽說果然還是短論文好）

順便舉一個經濟學裡「看起來可能相對高深」的數學應用好了：給all meals的borel測度概率集合一個弱拓撲使它緊緻，再給此集合的子集合一個豪斯多夫拓撲，使得子集合緊緻（用中文表述好難啊，有興趣自己參考temptation and self-control（2001 GP）里的set up部分好了）

想了想再同樣舉一個經濟學裡很不數學的例子：REPRESENTING PREFERENCES WITH A UNIQUE SUBJECTIVE STATE SPACE（2001，DLR）里1.2部分對「不可預計（unforeseen）」的解決方法

「比較高深」在此真的很難解釋，如何算的高深，又跟誰比較呢。應該講絕大部分經濟學（包括theory）里用到的數學在數學家看來都是too simple sometimes naive，我曾經就遇到學統計學（有人講這是數學的小弟）的人和我吐槽「憑一個GMM居然能拿諾獎，學統計的要哭死了」。

很多人提到了博弈論，似乎用到了高深的數學。有一個廣為傳頌的故事：Kenneth Binmore曾經去參加一個關於數學的seminar/conference，見到了Shizuo Kakutani， Kakutani問他：為什麼有這麼多經濟學家來呢？Binmore：因該是因為Kakutani Fixed Point Theorem。Kakutani：什麼是Kakutani Fixed Point Theorem？似乎K先生對於這個幫助證明了改變經濟學的定理的定理不怎麼感冒，那麼這個數學算高深嘛。

有的朋友提到econometrics，那麼我可以講講我親身經歷的一件事：Jean Jacod在某校做一個talk，去了很多統計的和metrics的人（都是領域內大牛），大牛們一改平日seminar咄咄逼人的啟示，安靜得像小貓一樣，除了幾個關於notation的問題外一言不發。

這麼說大家一定覺得我是「經濟學都是數學不行的人才去學」的理論的鼓吹者，當然不是！在經濟學研究里，數學只是基本的要求，economic insight比數學重要得多。換句話說，僅僅數學好不一定是一個好的經濟學研究者，但是這些數學都學不會肯定也成不了好的經濟學研究者。很多經濟學家沒有用到那麼高深的數學（這不等於他們學不會），但是這並不妨礙他們得到elegant的結果。也有很多經濟學家的數學水平極高，智力絕不亞於數學家（比如三屆IMO金牌），但是僅僅靠玩弄模型卻沒有現實意義是得不到經濟學家的認可的。所以數學並不是最重要的，經濟才最重要，這也是為什麼Hansen和Sims都能拿Nobel。

貌似我的回答有些答非所問，我也沒有任何批評的意思，只是覺得漂亮的經濟學比經濟學裡漂亮的數學更值得關注。

雖然經濟學研究者一直自黑「經濟學家是失敗的數學家」，但最終在經濟學研究里用不用數學，都是「非不能也，實不為也」——根據奧卡姆剃刀能用簡單的理論解決的就沒必要複雜。然而這不代表經濟學不需要數學，同時也不代表經濟學必須用數學，這兩種思想都是不利於研究的。
作為經濟學研究者，我們一般把泛函和複分析這個級別叫作粗淺的數學吧。我也只懂這些粗淺的東西。
反正學經濟/金融的人如果被數學的人搶了飯碗都應該責怪自己學業不精。。。倒不是說天生學經濟金融的人數學就該差。

開始答題。以下提到的顯然的內容，就不多解釋了。
先回應你的3，4，5三點。（你的1，2兩點沒有提問所以。。。）
3。圖表畫成直線是為了定性分析問題，以及給定量分析提供參考。如果說最後定量分析的結論和定性分析不符合，我就知道做錯了。這並不代表真實就是直線。你用微分來定義彈性，也得是滿足某些函數連續可導的情形，而這已經是經濟學裡（雖然較為通常）的一種特殊假設了。首先微積分就算不上高級，其次很多時候我們也用差分。我其實不太明白你這裡為什麼把彈性這樣一個淺顯的例子當成一個數學應用……
4、二重積分證明歸一化只是一個結論，不理解你的問題，請賜教。。。
5、複分析在計量里和理性預期里都有應用。例如有的時候我們把理性預期建立一個Kalman Filter的隱Markov模型。但如果我們考慮「真理性預期」，可能當前的行為並不只由當前的隱狀態決定，可能由之前的無限維決定。這時我們可以把時間域轉換成頻率域，而z變換正式連接兩者的橋樑，還可以分析收斂域。抽象代數更多的時候是在證明一些結論的推廣時候有用。例如有時候一些結論存在的空間是一個域，那就非常理想（抱歉我沒有說抽代里的理想），雖然我的確沒有見過非常著名paper里充滿抽象代數應用的，但是有抽代的paper還是見過一些。。。這些paper的共同特點是從基本的東西開始導出。比如從行為學的角度定義新的偏好函數等等。數論——我同意你的觀點因為我也就見過一次用數論的paper。但是你見過數論在物理化學等領域裡的應用嗎。。。。。。

首先經濟學幾乎所有領域都需要基本的實分析級別數學，不用多談，這是常識。
然後，微觀（博弈論，decision theory，均衡理論）等用到的主要工具是泛函、概率論、抽代和拓撲。前面的各種答案也都解釋了，這也不是我的專長領域，不敢說話。（萬能Farkas Lemma飄過）
計量里，當然是統計的東西。其實也有傳言deep learning也有經濟學應用，只不過很多經濟學家還認為這只是數據挖掘。。。至於LASSO和嶺回歸等，那更是已經有不少應用了。不是我的專長領域……
金融里我倒覺得反而是用的數學種類比較少，主要是隨機數學、常微分和偏微分。如果你可以熟練使用Ito引理，Girsanov定理、Feynman-Kac、鞅表示定理和Riesz表示定理的話（後兩個其實某種程度上用的地方差不多，都是為了搞Stochastic discount factor），加上一點偏微分里的應用（wave、 heat方程、斯圖姆-劉維爾方程），基本也就能看懂市面上的所有paper了。
至於宏觀里用到的數學就遠不止不動點的應用了。當然，不動點的確是最重要的之一。除此之外，熵理論的應用也有不少，尤其是信息經濟學裡。我還想說的一點是離散數學的應用。組合數學的應用那肯定到處都是。除此以外，現在流行的網路理論里，我還看到過用增廣路算網路流的文章。如果說道網路的最大流最小割，那Konig定理肯定也是用到的。
暫時想到這些。

金融學裡面有個布萊克-斯科爾斯期權定價模型 (Black–Scholes model).

時間久了，細節都不記得了。大體的思路是假定股票收益服從一個隨機過程（馬爾科夫過程/伊藤過程什麼的）。然後用股票及衍生金融產品（期權）什麼的構造成一個套利證券組合。然後利用隨機過程的一些數學性質推斷出這個證券組合是零風險（方差為零），所以收益應當等於無風險利率。現在模糊地記得這一步的構造十分精妙，當時覺得非常了不起，但是現在細節全忘了。。。然後這個證券組合的收益能寫成一個隨機微分方程。求解就得到了著名的布萊克-斯科爾斯期權定價公式。

隨機微分方程。。。夠高深的了吧~~~

PS1：你們學數學的不要再來搶我們學金融的飯碗了好不好！！！
PS2：你們學數學的不要再來搶我們學金融的飯碗了好不好！！！！
PS3：你們學數學的不要再來搶我們學金融的飯碗了好不好！！！！！

粘貼一段敝校數院的學科特色

11). 動力系統與經濟模型分析：動力系統及在經濟理論中的應用是……基礎數學專業的重要研究方向之一。該方向主要運用常微分方程定性理論和穩定性理論對經濟理論中使用的動力系統的動態特徵進行定性分析及研究動力系統解的穩定性與漸近穩定性，特別是研究經濟增長理論中涉及的動力系統的平衡點的存在性、惟一性，解的動態特徵及解的穩定性與漸近性穩定性。探討動力系統在什麼情況下出現分歧與混沌。
……系統地對經濟理論中的特定的動力系統(如在Solow模型和Ramsey模型框架下得出的動力系統)的動態特徵進行定性分析。分別利用Poincaré-Bendixson定理和Hurwitz定理證明一類二維動力系統和三維動力系統的解是漸近穩定的，並運用定性分析的方法研究了解的動態特徵。運用Hartman-Grobman定理和穩定流形定理判斷特定動力系統的平衡的類型及局部穩定流形的維數，並通過相圖分析的方法探討一類動力系統整體穩定流形存在的範圍與幾何形狀，研究了變數在穩定流形上的動態變化過程。探討了由Ramsey模型框架下得出的二維動力系統在什麼情況下出現分歧，給出出現分歧的條件。得到的這些研究成果在經濟增長理論中有較好的運用，突破在經濟增長理論中對動力系統研究僅局限於在平衡點附近作局部分析的方法，而是在整體的範圍內研究動力系統解的全局漸近穩定性，整體穩定流形的幾何特徵及解在整體穩定流形上的動態變化過程，進而對經濟增長的動態變化過程有更為深入的了解。

大部分所謂漂亮高深的數學技巧，正是經濟學失敗的原因。

我也是數院畢業的。大二的時候學院開了門課，叫數學模型，講了下面幾個證明：

1.一個關於偏好的連續性的證明。慚愧，完全沒學懂。總之用了大量看起來像拓撲的東西，證明了微觀經濟學上一些基礎理論的數學根基。
2.阿羅不可能定理。就是俗稱的「絕對民主是不可能的」。遺憾的是，也沒有學懂證明，只依稀記得好多集合在哪裡算來算去。
3.納什均衡。用到了集值映射的角谷不動點定理。這個證明是我唯一看懂了的。
4.布爾代數的應用。貌似是用布爾代數的方法解決了一個規劃問題吧。完全沒學懂。
5.好像還講了個什麼，忘了。

最後考試前，老師說：「這些證明都不考，因為你們是掌握不了的，只是拿給你們欣賞一下。」不管怎樣，題主也看出來了，我是學渣，學了的東西不僅沒學懂，連學的內容是啥都搞不清楚。但我真的有認真記筆記的。。。

雖然學的時候不明覺厲，但在我後來的工作中，還是覺得受益匪淺。

福二的 Hahn-Banach 證法… by Acemoglu

反正我看沒看懂 Orz

還有一本書…薩特金&<遞歸宏觀經濟學&>…
你能去看看看？

讓人看不懂的都算是漂亮的運用

實話實說：你覺得經濟學沒用到「高深」的數學可能是因為你了解的經濟學知識太少了。初級經濟學教材簡直是幼兒啟蒙讀物。你要是真感興趣可以自學高階的經濟金融相關知識。我們研一的經濟課程，P大、T大的數學or工科出身的都說hold不住，他們說感覺自己誤入了數學學院。
當然，不像國外的經濟學，中國的經濟學專業有的偏文，有的偏理，不可一概而論。
講真，數學學好學經濟金融很有優勢。很多金融業界僱主都要求非經管出身而是數學、理工科出身的求職者（聽前輩說的，我自己也查了一些資料，彷彿確實如此。）

一位經濟學家去華盛頓的自然歷史博物館參觀。當站在恐龍化石面前時，他對身邊的遊客說：「這隻恐龍的歲數足足有20億年令10個月。」遊客驚訝且恭敬地問道：「您從哪裡得到如此準確的信息？」經濟學家不無自豪地回答說：「10個月前我來此參觀過。那時講解員告訴我這隻恐龍已經20億歲了。」

數學是一切學科理論研究的工具

高深的數學是什麼數學？

至今看不懂納什均衡的推導過程 T_T

倍增定律變傳銷

用的很少，中學水平就不著急急了

宏觀經濟模型會用到很多數學工具的，包括求解模型或者是做模擬，除了高等代數的東西外，泛函實變理論的運用都有。如果是在分析shock影響的時候，還有隨機過程的東西！當然，目前我接觸到經濟方面的證明沒有純數學理論證明那麼高深，可能我們項目偏應用經濟和實驗有關。聽系裡教授說很多理論還是很難看懂的