兩點之間直線最短與光是直線傳播的有沒有關係？
因為上課的時候老師解釋兩點之間直線最短用的是狗要吃東西不會繞著路走，而是走直線。 這與節省能量是否有關係？
其實光也不是嚴格按照直線傳播的。如果你依照費曼路徑積分，可以得到沿不同路徑傳播的概率分布，直線傳播的概率最大，但其他路徑也並不是零。
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占坑結束，搞點圖上來。
簡單來說，我們有如下的一條光路：
我只是正好有這麼一張圖，所以沒有畫一個直線傳播的圖。如果你把detector的位置相對於x軸做一個鏡像，就是光是否直線傳播的問題。假設我們有三條路，一條在反射上表現為反射角等於入射角，在傳播上就表現為直線傳播，同時我們有其他兩個分別入射角更大和更小的路徑，對應傳播就是向左或向右傾斜之後，經歷一個折點到達detector，即非直線傳播。由於source和detector之間的直線距離一定，所以就可以用費曼路徑積分，算出不同反射角（非直線偏折量）路徑的概率。具體計算我就不寫了。算出來的結果是這樣的：
如果光波長500nm（綠光）：
你看，大部分的路徑概率都落在了入射角等於反射角（45度）上，也就是對應detector做鏡像之後的直線傳播路徑。但是其他偏折路徑的概率並不等於零。
如果光波波長增加至5000nm：
得到的結果更加驚人，其實走直線的光只佔10%，另外90%的光都沒有走直線。
得到的結果更加驚人，其實走直線的光只佔10%，另外90%的光都沒有走直線。
至於實驗驗證，我還沒找過資料，不過關於光子不是走直線的問題，驗證實驗是非常著名的。我們知道雙縫干涉實驗，如果你在擋板上挖兩個洞，對面光屏上成像是干涉環或干涉條紋，我們說這是因為兩束光發生了干涉，出現了互相影響的現象。
但是如果我們用同樣的擋板和光屏，把光源換成單光子光源，也就是說一次只發射一顆光子，這顆光子將單獨走向擋板，根據發射的方向，如果正好在小孔的方向，則會穿過小孔，理論上，走直線的光子會徑直走向對面光屏，從而光源、小孔、光屏上的光點三點在一條直線上。但是事實上，光子並不落在光源和小孔連線的延伸線上，並且如果你不斷發射這樣的單獨的光子的話，經過一段時間之後，光屏上依然會顯示出同樣的明暗相間的條紋。也就是說，光子在不受其他光子影響的時候依然會挑選路徑進行傳播，並且這個路徑不一定是直線。
但是如果我們用同樣的擋板和光屏，把光源換成單光子光源，也就是說一次只發射一顆光子，這顆光子將單獨走向擋板，根據發射的方向，如果正好在小孔的方向，則會穿過小孔，理論上，走直線的光子會徑直走向對面光屏，從而光源、小孔、光屏上的光點三點在一條直線上。但是事實上，光子並不落在光源和小孔連線的延伸線上，並且如果你不斷發射這樣的單獨的光子的話，經過一段時間之後，光屏上依然會顯示出同樣的明暗相間的條紋。也就是說，光子在不受其他光子影響的時候依然會挑選路徑進行傳播，並且這個路徑不一定是直線。
至於兩點之間直線最短的問題，停留在低維空間的數學上，肯定是對的。如果你要跟光聯繫，跟物質聯繫，可能就不對了。任何有質量的東西會導致空間扭曲，質量巨大的物體會引起巨大的扭曲，比如太陽。這種玩意就太物理了，我一個學EE的就不摻合了。類似，但嚴格來說不一樣。因為一個是類空測地線，一個是類光測地線。
測地線：（用某種仿射坐標測量而得的）距離最短的路徑。
在四維時空中，有三類仿射坐標，分別是類時、類空和類光的，對應不同類的測地線。
類時測地線對應的是自由粒子的運動軌跡，類光測地線對應的是光的傳播軌跡，類空測地線才是三維空間的「最短距離」。
有關係
費馬原理：光在任意介質中從一點傳播到另一點時，沿所需時間最短的路徑傳播。
簡單答案：有，而且是非常直接的關係。
樓上萌主 @Minglei Xiao 的回答是從另一個角度討論問題——拆你本科室友的台不要拆得那麼快嘛~！
複雜答案：
自己給自己挖了個坑。等手上的活計忙完，填起坑來，才知道坑有多大；我也真是不作不死啊——竟然試圖將起點定在中學物理而將終點定在路徑積分…… 連續加班三天，天天通宵，包括現在（其實是通宵完了，睡不著了，起來寫完的）；坑到現在，大概也沒人看了，算是履行個承諾吧。
下面的所有內容——出於容易理解的緣由——都做了不同程度的簡化和降解甚至歪曲；因此，「嚴格」的程度，也都不同程度地受到了負面影響。若其中有錯漏，或是有更好的講法，也請方家不吝指出。
首先說一下光的干涉（對干涉有概念的看官敬請跳過，這只是考慮到題主多半是個初中生，且也是為了形式上的完備）。
眾所周知，光是一種電磁波。在空間中的固定一點處，電場和磁場的強度和方向都會隨時間流逝而起伏振動。彷彿繩子上的波：若在波動的繩子上取定一個點，則該點也會隨著波的傳播而高低起伏（圖片偷取自 http://imgarcade.com，知乎沒法插入動圖，請自行在繩子上取個點，然後自行腦補左邊的手抖動繩子時，這個點的上下振動）。
只要是波動，就會有所謂的干涉現象。
要說干涉，先說相位和相位差。
渣手繪、渣書寫，求各位看官見諒。
我們先考慮下面一種情況。假定，有兩個發出定向光束的單色光源，頻率和強度完全相同；它們同時向同一個光探測器發射光束。這個探測器所探測的，是射入它的光波所造成的總的電場的振動（事實上，電磁波與其他物體的相互作用，在很多情況下，都主要是由電場那部分的波動而直接引致的；磁場那部分的波動並不太容易直接地讓其他物體的狀態發生改變）。
假定，這兩個光源被非常精細地同步過，它們到探測器的路程也被非常精細地調節過，以致它們所發出的光波到達探測器時的相位差為零——也即，在同一時刻，一個光波的電場振動的大小和方向和另一個光波完全重合。此時，這個探測器所實際探測到的，是把兩個電場振動相加以後的總的電場振動（在圖中，這個疊加唄直接畫了出來——這個圖的橫坐標是時間，表現的是空間中一個固定點處的電場的振動，而不是光波的樣子）。這，叫做「（完全地）干涉相長（zhang3）」。
而如果兩者的相位差為 ，也即，一個光波在同一時刻造成的電場振動的大小和方向與和另一個光波所造成的電場振動正好相反，則兩個振動相加以後，電場振動會相互抵消，探測器會啥也探測不到的。這，叫做「（完全地）干涉相消」。
造成兩個電場振動「存在相位差」的原因有很多，但一個非常非常關鍵和常見的原因，是光波從兩個光源出發到達此處所花的時間不一樣多。時間不一樣多，則光波在到達這一點之前經歷的振動次數也不一樣，便造成了相位差。通常情況下（不考慮介質的影響），光波的速度是一個常數；所以，那個「時間不一樣多」，其實也就是「路程不一樣長」的直接反映。如果考慮介質，光速（通常）就要變慢（變成真空光速除以折射率），那麼，振動的次數，就要變多，變成沒有介質時的次數乘以折射率。如果我們引入「光程」的概念，讓光程等於實際長度乘以折射率，那光程的大小，也就實際地反應了振動次數的多少，方便了相位差的計算。
[不過，「兩個光源所發出的光到達探測器時所導致的電場振動的相位差總是一個穩定常數」，乃是一個相當不容易實現的條件。實際上，要做出這兩個光源，是必須用一些特殊手段的：比如，用相干時間超長的激光器，或是用楊氏雙縫干涉實驗中的「分割波前」方法——當然，這個方括弧里的內容其實不怎麼嚴謹，對此題的理解也無太多助益，完全可以忘掉。]
以上兩節所說的，都是兩個光波到達空間中同一點時的情況。事實上，如果有很多個光波都到達了那一點，則一點處的電場振動，也就是把每個光波所產生的電場振動全都加起來的結果。
我們再稍稍拓展一下。一個光波在空間中傳播時，也有另一列光波，在離它極近極近的地方，與它一起傳播。若這「另一列光波」與原來的光波在每一點都有 的相位差，則兩個光波會在每一點都相互抵消，造成一個直接後果：原來的光波不見了。那這部分能量去哪兒了呢？看官不妨用相近的道理，開開腦洞、腦補一下：這和主動降噪耳機是一個原理；隱約記得，龐巴迪的 DHC-8 Q400 飛機上，似乎也有一個類似的主動降噪裝置——耳朵和客艙里的雜訊小了，其他某些方向上的雜訊就得變大。
廢話部分完畢，下面進入正題。
物理老師總是說，光在均勻介質中沿直線傳播。你問，為啥；他說，因為兩點之間直線最短。你問，憑啥，兩點之間直線最短能說明啥問題？他怒道，你給我記住就好了，問來問去，你還考不考試了！
好么，憑啥！咱今兒就把這限制給徹底放開，好好計較計較「光不沿直線傳播」的情況。而且，不光是「不沿直線傳播」，咱還要把每一條可能的路徑全部走遍，不是號稱「條條大路通羅馬」么。
我們來考慮這樣一個情況：光從一個點光源發出，經過一陣子旅行，到達了空間中的另一個點。當光在這兩點之間傳播時，我們並不認為它是沿著直線的。然後，我們非常勤勞地把每一條可能的路徑全都畫出來了（其實只畫了寥寥幾條，意思意思而已啦）。
這幅渣圖示意了兩種情形：其一，光沿著直線及直線附近的曲線從光源傳播到終點；其二，光沿著某條曲線及該曲線附近的曲線從光源傳播到終點。
眾所周知，（在曲率為零的歐幾里德空間中）兩點之間直線最短。可這個「最短」，還意味著其它一些東西。
先看看渣圖下半部分所畫的一條有點兒像拋物線的函數曲線。它取得最小值（嚴格地說，應是極小值）處，在正中間。在極小值附近，函數的值變化得很慢；在遠離極小值的地方，函數的變化要快得多，而且離極小值越遠，變化越快。
我們再來與光的傳播類比一下。在直線附近，光從起點到終點所走的路程是個極小值；在這個極小路程的直線附近的其他路徑上，光所走過的路程與這個直線路徑相差不大。而在那條並非直線的路徑附近，再取另一路徑，則這「另一路徑」上，光所走過的路程，與原本的路徑相比，會有大得多的差距（相比於直線附近的情況）。若看官學過變分法，這個論述是幾乎不言自明的：取泛函為線長，則直線附近該泛函對路徑的泛函導數為零，曲線附近則明顯不為零；類比於微積分中的普通導數，導數為零處變化緩慢，非零處則變化快速。
取一條路徑 C，若 C 不是最短路徑（也即，不是直線），那麼，在 C 附近就會有很多其他路徑，每條路徑的長度都與原路徑有不小的差別。這意味著什麼？意味著這樣一個過程。若先在 C 上任取一點 A，則我們總可以在離 C 很近很近的地方，找到另一條路徑 C"，使得光沿著 C" 傳播到 A 處時，所造成的電場振動，正好與從路徑 C 過來的光相差 的相位。這樣，沿 C 傳播的光，在路徑 C 上的每一點，都被抵消得差不多了。抵消的程度，跟「與直線的偏離程度」，大致是一個所謂的「指數衰減」的關係。
[必須說明的是，上面的論述，其實相當意義上只是陳述了結論，跳過了數學上的證明——否則應該認認真真地求每條路徑上的每一點的振幅的平均值，或者至少給個合理估計——所以本質上是極其不嚴謹的。但是，路徑積分的思維方式本身，則應當沒有什麼問題。]
相反地，若 C 是那條直線，則在 C 附近的路徑，不僅不能把 C 抵消，還因為其長度與 C 極其接近，把 C 上的振動給加強了。
於是，在我們看來，光就只沿著直線走了。
這樣，「兩點之間直線最短」，就與「光沿直線傳播」聯繫了起來。其原因，就在於「光是一種波」，也在於「光其實把每條可能路徑都走遍了，然後通過干涉，把該抵消的路徑抵消掉，最終沿著最短的路徑過來了」。
仔細想想，我寫下這些時所在的地方，原來離這個思想的呱呱墜地之處只有一百多米啊——還真是有點小激動呢——據說當年費曼跟約翰?惠勒念博士念得很鬱悶（費曼不喜歡廣義相對論），就忙裡偷閒、大開腦洞，搞了這個十幾年後的大新聞。
以上考慮的是折射率恆為一的情形。若折射率不總為一，以上的論述仍然幾乎全部成立，唯獨的不同，就是把每條路徑上的路程換成「光程」（因為這樣可以反映光波傳播時的振動次數），那麼，光程最短的路徑同樣得到了附近路徑的加強，而並非最短路徑處則被削弱和抵消——這便是所謂的費馬極值原理。
同樣，如果存在光程的極大值（在前述例子中，真空的歐氏空間中兩點間的路徑，只有極小，木有極大），則光也可能沿著極大值行進。比如，在球狀均勻介質內外存在著一對能夠完美聚焦的所謂「齊明點」，這兩點之間光所走過的路徑其實就是個光程極大值。
在廣義相對論中，時空會被彎曲；非零的時空曲率，常常導致兩點之間並不是直線最短；此時，光也不再沿著直線傳播了。那個愛丁頓領導的非常著名的觀測——利用日蝕檢測光線在大質量物體附近的偏折，便是這個效應的另一個直接反映。
日常所見的粒子，其實也是波。一個電子，在不受外部相互作用時，只沿著直線運動，也是類似的原因。
但是，事情並不總是那麼簡單。當我們在非常特殊的情況下（比如，粒子的動量乘以相互作用典型尺度後並不比普朗克常數大太多）考慮問題時，那些不是最短路徑的亂七八糟的路徑，也有可能並沒有全部抵消掉：有相當一部分，確實通過其他路徑走了，而且會造成很重要的效應——這，就是量子物理之所以不同於經典物理的關鍵之一。
再說一遍，以上的很多東西，都跳過了數學證明，直接陳述結論，而且是以一種非常不嚴謹的方式陳述的；列位看官若有更好的說事兒的法子，請一定不吝告訴我，跪謝了。
光子在全空間傳播，按照哈密頓量的相因子等權疊加得到傳播子，就是對於兩點之間的「所有」可能路徑做積分，注意要遍歷全空間所有可能路徑（如果感覺和相對論矛盾就對了），數學上是無窮維的泛函積分，得到的傳播子類似於Green函數，然後用傳播子對全空間積分得到了光子在全空間的概率幅分布，在經典極限意義下就變成直線傳播這種幾何光學的情況（當然如果要挑刺說也可以變成波動光學干涉的情況我也無話可說）。也許我的回答沒能很好地答疑解惑，不過看到樓上說了路徑積分的答案，我就先行解釋一下吧。如有不太對的地方各位看看就好，全當娛樂一下。
修改：以為樓上會用費曼的那套路徑積分來解釋，略有失望，不過那樣解釋在經典意義下並無不妥當之處，但是有一點不嚴謹的地方就是路徑積分是對「所有」可能路徑做積分，是「無窮維」的泛函積分，之所以強調「所有」是因為這個路徑可以不光滑，可以像Dirichlet曲線一樣處處連續、處處不光滑，這個曲線的跳躍程度可以違背相對論對於速度的限制（別問我為啥，不知道，這就是量子力學在某些問題上和相對論不相容的地方），這些曲線的數目相對於那些光滑、連續的曲線數目是多得多的，這也是為什麼說一樓答案有瑕疵的地方（雖然這些奇怪的路徑貢獻的相因子很少）。
節省能量…狗狗可能會，光不會吧？單個光子的能量只與頻率有關，光傳播也不耗能…
二者的關係可以用費馬原理解釋：光的傳播路徑總使得光程取得極值。實際我們看到的是極小值。
光程！！！光程！！！為毛那麼多把費馬原理說成路程的@_@
光程等於折射率對路徑的積分，L=∫ndl。這也解釋了折射定律等一系列定律。所以光走直線跟兩點間的直線最短是有聯繫的，這個聯繫就是光總是走最短「路程」，但是必須在兩個前提下：
1、平直空間。否則你在曲率不同的空間看路徑並非「直線」。
2、路徑中折射率恆定。此時路程才正比於光程。古典形式的費馬原理指出，光沿時間最短的路徑傳播。
假設光從A點到達B點
對光程做變分處理，可以得到光程的表達式子（直線段）
直線就是平直時空中的「短程線」呀。
一切物體，在不受力的情況下，都會在時空中沿「短程線」做慣性運動。如何理解最短距離？是花的時間最少，還是走的路程最短？如果是後者，一般就是歐幾里德的幾何問題，如果上前者，就會牽扯到物理學中的很多東西，例如相對論、時空扭曲等等
因果關係其實不是直線最短，而是最短的被定義為了直線。首先有了光沿著最短路徑傳播的觀測事實，然後把光在真空中傳播的路徑(兩點之間最短的路徑)，定義為了通常的直線。
光沿最短路徑傳播基於實驗觀測；
兩點之間直線最短基於定義；
進而就有了光沿直線傳播。
上學時，問老師：「為什麼兩點之間直線最短？」，老師回答：「扔一塊骨頭，狗是直著去撿，還是拐著彎去撿呢？」，學生答：「當然直著去了！」老師：「狗都知道，你不知道？ 」--
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我稍微說下吧。以高中的理解程度。你說的這因和果呢，嚴格來說都是不正確的。先不管這個，假設都是正確的。
你的問題簡單來說呢，其實沒你想那麼複雜。首先，兩點之間直線最短，是數學，其實是公理，就是說呢，歐幾里得幾何這一套呢，直線最短就是對的，如果不對呢，整套的基於歐幾里得幾何的數學理論就會變樣（假設不同，推論就不同)，就不會是你學的或者理解的這樣了。
其次，光以直線傳播（假設沒有反射折射之類的），是物理。
物理是什麼呢？物理其實是一門實驗科學。我要再三強調這一點因為我知道基本上大多數中國高中生沒有理解到物理是一門實驗科學。光以直線傳播，是人從試驗中觀測出來的。其實更適合的說法呢，是光總沿著以最短時間到達目的地的路徑走。對於真空呢，就是直線。這個是實驗，是觀測，是我們通過有限的手段(可能有各種誤差)，觀測出來的結果。
這個結果呢，正好可以用歐幾里得幾何的直線（這個是數學，數學其實和物理可以說完全不同）來描述。 如此而已。
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因為你提及到了數學和物理，我談談數學和物理的關係。
數學只是人假想出來的一套理論。甚至實數都是假想出來的。目前物理能觀測的最遠距離，和最小物體都是有範圍的。 小於這個範圍的實數有什麼意義? 大於這個範圍的實數又有什麼意義? 基本對於現實生活，對於物理來說，是沒有意義的。
所以數學其實只是一套能自圓其說的理論。實數只有包括所有的，無限小和無限大，實數才是完整的，數學理論才是完整的。
所以歐幾里得說，平面上直線距離最短，是他的數學理論。是基於一系列假設，公理，然後有各種推論。
而物理的光的規律，正好能用這套理論解釋。
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最後，稍微提下非高中知識。稍微說下了。首先，2點間直線距離最短呢，只是歐幾里得幾何。在很多其他幾何中，例如一個球面，最短距離不是直線的。
其次，光 並不總沿直線傳播。當然不包括反射和折射，光也並不總沿直線傳播。光會被引力吸引，產生彎曲。引力周圍的光都是有彎曲度的。
愛因斯坦說，引力造成空間扭曲，所以光在扭曲的空間中（例如一個球面), 是沿曲線傳播的，並不是直線。所以呢，愛因斯坦這套廣義相對論呢，就不能用到歐幾里得幾何了。光不一定沿直線傳播，折射率不均勻的介質中，光線路徑是彎曲的。舉個簡單的例子，光線從空氣進入玻璃中發生折射，路徑就不是直線。
數學上把兩點之間最短的那條曲線定義為直線。
生活中把光在真空中的傳播路線定義為直線。光是會折射的哦 人走路的線路也會折射，這個和你走路的過程中舒服程度有關，比如有太陽暴晒，泥濘的道路。
北京和紐約直接坐飛機最快，和某種鳥每年都從北京遷移到紐約。
一個是數學問題，一個是物理學問題；物理問題比數學問題複雜
光線可不一定是走光程最短的路線，費馬原理說的是光線沿光程為極值的路徑傳播。
在均勻介質中，光沿直線傳播是最短路徑。
費馬原理 光在介質中總是沿著光程為極值的路徑傳播
什麼叫極值呢？就是導函數值為零且二次導函數值不為零的點;-)光程為極值有可能是極大 極小 最大 最小的路徑
光在真空中，因為介質是均勻的，直線也就是最小光程(在不同介質中光程可能不同)
有意思的是可以用費馬原理推出折射 反射定律，可以動手算算看 。
之前考慮過這個問題，想的是空間扭曲的問題，沒想到有人有同樣的想法。
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