有哪些數學知識與人們的生活常識不符？

11-16

或者說，人們在生活里常常容易犯怎樣的數學錯誤？

相關問題：在你的專業里，有什麼基礎知識是和普通人的認識不相符的？

這裡有很多很好的答案，我再說幾個吧：

聖彼得堡悖論（St. Petersburg Paradox）：一場賭博遊戲，大家投擲硬幣直至出現正面為止，一共投擲的非正面的次數假設為N，則可以贏得2^N元的獎金，那麼你願意投入多少錢來參加這個遊戲？實際上參加這個遊戲你能贏到的錢的期望是多少？通過分析可以知道，實際上你贏錢的期望值是巨大的。那麼如果真的有這樣一個提供這種遊戲的賭場，為了使賭場不至於虧本，公平起見，你也應該投入很多的錢來玩這個遊戲。可是我們的直覺都會告訴我們，即使是來參加一場「公平」的賭博，那也不應該投入太多的錢來參加這個遊戲，甚至有心理學的統計表明，大多數人從直覺上考慮，會覺得投入2~4塊左右的錢來玩這個遊戲才是比較公平的。考慮邊際效益遞減，這種「錯誤」或許反而是「理性的勝利」。不管怎樣，這個問題分析得到的結果很可能與你的最初直覺違背。更多的分析請參考維基百科：聖彼得堡悖論。在這個悖論的基礎上，產生了效用函數（Utility）的理論。
Monty Hall三門問題：這個問題也是被說爛了的，換門後會大大增加中獎概率，但這與直覺會相違背。條件概率的有關問題在日常生活中經常容易犯錯，我們自己在某種賭博中連續輸了好幾次之後總是安慰自己，「我靠，連續輸這麼多次了，下次怎麼也不可能再輸了吧」；又或者那種笑話「自己帶一個炸彈上飛機」；再例如考試常考的「已知老王家有一個兒子，那麼他再生一個兒子的概率是多少？」我們自己常常會在這些事情上犯錯。關於Monty Hall三門問題，直接引用來自果殼：換還是不換？爭議從未停止過的三門問題的問題描述，感興趣的朋友可以點進去看看具體的分析。「參賽者會看見三扇關閉了的門，其中一扇的後面有一輛汽車，選中後面有車的那扇門就可以贏得該汽車，而另外兩扇門後面則各藏有一隻山羊。當參賽者選定了一扇門，但未去開啟它的時候，節目主持人開啟剩下兩扇門的其中一扇，露出其中一隻山羊。主持人其後會問參賽者要不要換另一扇仍然關上的門。問題是：換另一扇門會否增加參賽者贏得汽車的機會率？」
最短的路徑的修建（Steiner樹問題）：如果希望連接正方形上四個頂點處的四個城市，怎樣修建公路可以使得總路徑最短？你能「直覺」想到想到如下圖所示的結果嗎？（最優解時，角 AEB = 120°，在邊長 a=1 的情況下，總路線長度將小於對角線式的連接方式，計算可得： L = 1+sqrt(3) = 2.732 &< 2sqrt(2) = 2.828）更多內容參見：尋求連接同一平面有限給定點距離和最小的點和網路

數學上還有很多很多這樣的例子：以為很簡單的問題其實是很難的難題；有時候做著做著就忘了某些定理成立的條件；一些看似簡單的方程卻存在一些奇特的解的形態，不考慮條件概率和 Bayesian定理從而相信各種偽科學（看了@錦榮先生在回答中的例子，難道你不會想到假如當「實際上誤診的概率」不再「遠低於例子中的數據」時會出現多可怕的情況嗎？許多「替代醫學」正是因此得到了高的的「治癒率」）……說得極端點，在受過教育之前，我們對數學幾乎完全沒有可以天生的直覺，幾乎（這個「幾乎」也可以看成是數學用語^_^）只要一出手就會錯。我們會很難相信奇數跟整數一樣多，整數跟有理數一樣多（ Hilbert 旅店問題），無窮長的周長可以圍著有限的面積，關聯不意味著因果，調和級數是發散的，甚至邏輯上的逆命題、否命題、逆否命題……所有這些都只有在稍稍經過訓練之後才有可能出現這種「直覺」。

討論這些東西相關的參考書也有很多很多，隨手寫幾本：

對「偽心理學」說不 (豆瓣)
統計數字會撒謊 (豆瓣)
啊哈！原來如此 (豆瓣)
啊哈，靈機一動 (豆瓣)

溫家寶：過去5年遏制了房價過快上漲勢頭

1，抑制房價上漲

2，抑制房價過快上漲

3，抑制房價過快上漲勢頭

有熱心網友指出：在1972 年秋天，尼克松總統宣布通貨膨脹率的增長率正在下降。這是第一次一個當任總統使用一個三階導數來推進他的連任活動。

平時新聞裡面或者人們說的「拐點」，和數學家說的「拐點」就非常不同！

彩票明明就是概率問題，偏偏很多人研究走勢圖，和值等。

我專業有個很經典的，
A drunk man will find his way home, but a drunk bird may get lost forever. -Shizuo Kakutani

即二維及三維隨機遊走的常返性。

1.把級數：1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+......裡面各項的順序進行調換，最後可以讓級數的和變成任何一個數，比如1000000000，或者2013什麼的。

2."大部分的"連續函數是沒法畫成圖像的。

3.虛數單位i的i次方是一個正實數。

概率
一件事發生的概率是100％不表示這件事一定會發生，一件事發生的概率是0％不表示這件事一定不會發生，如將0至1中所有實數放入一盒子中，抽取一個數，抽到有理數的概率是0，但確實有抽到的可能性，抽到無理數的概率是1，但確實有可能抽不到。

伯特蘭悖論
Bertrand paradox (probability)
伯特蘭悖論 (機率論)
考慮一個內接於圓的等邊三角形。若隨機選取圓上的某個弦，則此弦的長度比等邊三角形的邊還要長的概率是多少？
可以得到三個不同的答案，哪個是對的呢？都對。這違背日常生活中我們認某事的概率是確定的這一結論。原因是隨機這個詞在數學上沒有嚴格定義，不同的解釋會有不同的答案。要說明的是物理實驗傾向於1／2這個答案，但不能因此說其他二個是錯的，因為數學不是實證學科，實驗結果不能反駁數學本身，數學只追求自恰即內部無矛盾。

Banach–Tarski 悖論

http://en.wikipedia.org/wiki/Banach%E2%80%93Tarski_paradox
這個簡單說是將三維球通過某種方式分解成互不重疊的小片，重新組合後，可以得到二個和原球相同大小的球，這和直觀不合，這個證明中大量用到選擇公理。選擇公理
實際上這個悖論正是由選擇公理產生的。選擇公理不嚴格說是有若干個箱子，每個箱子中至少有一個小球，現從每個箱子中取一個小球，將所有取出的小球放入一個新箱子中這件事是否能辦到。當箱子為有限個時我們認為一定可以辦到，但當箱子為無窮個呢？（可列個或不可列個）。選擇公理保證依然可以辦到。

邏素悖論
這個我曾寫過
有名的悖論有哪些？
解決方法
據說羅素悖論有解，如何解？

其他
下面這些和數學定理無關，但和數學有關
如統計和數學差別很大統計學是科學嗎？
學數學的不擅長計算你學的專業，別人經常誤會的是哪一點？

理解高維空間需要的不是空間想像力，而是代數。

你以後要是看到什麼解釋高維空間的視頻，還一個公式都沒有，那八成就是騙人的。

一群人中，出現同月同日生的兩個人，這群人的最小數目是多少人？
很多人肯定會說367人。當然，100%出現還是需要這個數的。
但是，一個隨機抽取的人群，只要人數大於42人，出現同月同日生的兩個人的概率就可以高達96%。遠遠小於潛意識裡以為的人數。概率論與數理統計課上記得的。
不信的可以回憶下自己幼兒園、小學、初中、高中、大學、研究生直至現在公司的生日情況，我反正是全部中槍。

USB介面就兩面，你卻能插三四遍。

抓鬮先抓後抓概率一樣

巴拿赫-塔斯基悖論：可以把一個實心球分成有限塊，然後重新拼成兩個和原來一模一樣的實心球。
這個結論的推導基於選擇公理（axiom of choice）：非空集合的任意笛卡爾是非空的。意思是任何給定一個非空集合的集合，總能從該集合的其中的每一個元素（即一個非空集合）里取出一個元素組成一個新的集合。
這個公理看上去非常符合直覺，卻在一系列推導下成為巴拿赫-塔斯基悖論這個極為反直覺的東西，這個過程本身也非常反直覺啊！

整數和偶數一樣多。
整數和有理數一樣多。

生活中常遇到的，大多數是關於概率、統計、無窮和極限的悖論。
概率論的話，大概要數貝葉斯定理最為常見了。著名的烏鴉悖論實際上也可以用貝葉斯定理來解決。
關於無窮的悖論很多很多。舉個簡單的例子：自然數並不比雙數多一倍，實際上，它們一樣多。至於極限，之前的0.9999...=1不就是個很好的例子么。

其實像這種數學知識與生活經驗相悖的例子簡直是多不勝數，然而怎麼用通俗的語言來說清楚才是最為困難的。

先看這樣一個例子：

假設某地區每1000人中就有一人患有艾滋病。檢驗是否患有艾滋病的方法是用某種血液試驗檢測法檢測身體中是否含有艾滋病病毒，這種方法相當精確，但也可能帶來兩種誤診。首先，可能會讓某些真有艾滋病的人得到陰性結果，稱為假陰性，不過只有5%的概率發生；其次，還可能讓某些沒有艾滋病的人得到陽性結果，稱為假陽性，不過只有1%的概率會發生。
那麼，在艾滋病檢測呈陽性的條件下，被檢測者真正患有艾滋病的概率是多大呢？

從直覺上判斷，由於假陽性的概率僅有1%，因此真正患病的概率應該是高達99%。

然而，貝葉斯定理告訴我們，我們的直覺其實是錯誤的。
首先，你必須要弄清楚條件概率和貝葉斯定理的概念，這東西在任何一個概率學的書本上都會有介紹。
在弄清楚什麼是條件概率和貝葉斯定理之後，現在就開始計算吧。

定義事件A為「被檢測人帶有艾滋病病毒」，則A表示被檢測人不攜帶艾滋病病毒（本來應該是上劃線的，不過知乎上顯示不出來，所以就用下劃線代替了）；定義事件T為「試驗結果呈陽性」。
我們要求的是概率 P(A|T)。由貝葉斯公式可知：

由例子中的數據和案例可知，其中P(A)=0.001，P(T|A)=1-0.05=0.95，P(A)=0.999，P(T|A)=0.01；
代入數據可得，P(A|T)=0.087。

也就是說，在艾滋病檢測呈陽性的條件下，被檢測者真正患病的概率僅有8.7%。嚴謹的計算告訴我們，這個概率居然甚至連10%都不到，直覺和事實之間發生了嚴重的衝突。

雖然，這個例子的數據是虛構的，與現實中的情況有很大出入：實際上誤診的概率遠低於例子中的數據，某地區的患病人數也只能是通過粗略統計，與實際數據具有較大的誤差。但是拋開這個例子的現實意義不說，實際概率與直覺判斷之間的差距還是值得讓我們深思的，同時也提醒了我們，我們的大腦也許並沒有我們想像中的那麼可靠。

雖然前面已經有人說了，但是我還是想再提一下，就是Banach-Tarski Paradox 雖說是Paradox，但其實它是一個承認了Axiom of Choice下的推論，當然還涉及到群的順從性，測度論等知識。一個表述上比較初等的證明是存在的（我指的是本科生可以看的懂）。但其實它的本質是非常艱深的數學理論。上學期老師花了大半個學期把證明的梗概教給我們（本科低年級），雖然聽得很累，不過還是可以Hold住的。如果是從Axiom of Choice的角度看這個問題，那麼它就說明了雖然選擇公理看上去可能是那麼合理，但是它會導致一些非常反直觀的結論。

翻本謬誤

賭場里有一個擲骰子比大小的遊戲，莊家獲勝率是7/12，玩家獲勝率是5/12
如果玩家在賭場里採取這樣一個策略：第一局下注100塊，如果輸了，下一局翻倍，如果贏了，玩家見好就收
按照這個策略，有100%的幾率最終贏100塊，平均只要玩2.4局就能實現這個目標
但是，一個擁有有限籌碼的玩家在期望上是虧的
玩家籌碼越多，則期望上虧的就越多

0.99999......=1

整數和有理數一樣多。

1+2+3+... (一直到無窮大) = -1/12. (儘管這個求和需要被嚴密定義)

生日悖論。
第一次遇到這個的時候確實驚訝了一下。
人數為N人群中存在兩個人生日在同一天的概論是50%，問人數N是多少？
答案非常小，只要23個人就足夠了.
要讓這個概論是100%，需要367個人。但是要讓這個概論是99%，只需要57個人

好多回答都很非常精彩，太有趣了。我拋個磚，提一些大家沒提到的問題：

本福特定律:一堆從實際生活得出的數據中，以1為首位數字的數的出現概率約為總數的三成，接近直觀期望值1/9的3倍。簡單的說，在一組數據中，越大的數，以它為首幾位的數出現的機率就越低。應用：它能用於在會計、金融、公共經濟甚至選舉中出現的數據是否有造假。局限：若所用的數據有指定數值範圍；或不是以概率分布出現的數據，如正態分布的數據；這個定律則不準確。（這個我理解的不夠，希望大家能給指點，什麼是是以概率分布出現的數據？為什麼需要這個條件？）
辛普森悖論:在分組比較兩組數據時滿足的某種性質或結論，在合併考慮時卻可能導致相反的結論。具體見下表：
商學院和法學院的男生錄取率分別高於同院女生錄取率，但在總計中卻是男生錄取率小於女生。
商學院和法學院的男生錄取率分別高於同院女生錄取率，但在總計中卻是男生錄取率小於女生。

具體可見：
維基：本福特定律
果殼：神秘的本福特定律
被用於說明2009年伊朗總統大選中內賈德的造假：The Devil Is in the Digits: Evidence That Iran"s Election Was Rigged