直覺上如何理解二叉樹定價會收斂到 Black-Scholes？

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樹型模型是個更廣泛的概念，Black－Scholes的二叉樹只是一個很好懂的模型。題主說的二叉樹，應該說的是 Cox, Ross and Rubinstein (1979)[5] 或者 Rendleman and Bartter (1979)[6] 開發的CRR tree 或者RB tree。它們都是為了模擬Geometric Brownian Motion 而開發的。直觀的理解就是，樹的每一小步（叉），都模擬了GBM的一小步。

之所以可以這麼干，核心在於「中心極限定理」。即多個獨立同分布隨機變數收斂於正態分布。很多隨機過程都能用樹型模型近似,因為他們都有一個Brownian Motion啊。例如 Hull－White interest rate tree[3,4]， CIR and CEV tree[2]。甚至還有將reduced－form model 結合進GBM 來考慮股票破產概率的模型, CEV tree with jump to default risk default risk[1]。

我現在來詳細說對應Black－Scholes model的兩棵樹， CRR 和 RB。要構造一顆二叉樹，需要三個量：上升的概率，1-上升的概率（下降），上升的價格，下降的價格。

$p_u, 1-p_u,S_u,S_d$ .

如果要讓他可以近似Geometric Brownian Motion，它就必須在下一個時間段里和GBM同期望同方差。

$mathbb{E}[S(t+Delta t)]=S(t)e^{(r+frac{1}{2}sigma^2)Delta t}$

$mathbb{E}[S^2(t+Delta t)]=S^2(t)e^{ (2r+sigma^2 )Delta t}$

帶入 $p_u, 1-p_u,S_u,S_d$

$p_u imes S_u+(1-p_u) imes S_d=S(t)e^{(r+frac{1}{2}sigma^2)Delta t}$

$p_u imes S^2_u+(1-p_u) imes S^2_d=S^2(t)e^{ (2r+sigma^2 )Delta t}$

你看，兩條式子，三個變數，解不出來啊！！！

所以 Cox, Ross and Rubinstein 說，不如我們引入一條條件

$S_u=S imes u\ S_d=S imes d\ u imes d=1 $

然後就解出來了

$u=e^{sigma sqrt{Delta t}}\ d=e^{-sigma sqrt{Delta t}}\ p_u=frac{e^{rDelta t}-d}{u-d}$

而 Rendleman and Bartter 說，還可以引入
$p_u=frac{1}{2}$

所以又解了出來

$u=e^{(r-frac{1}{2}sigma^2)Delta t + sigma sqrt{Delta t}}\ d=e^{(r-frac{1}{2}sigma^2)Delta t - sigma sqrt{Delta t}}$

故事還沒結束
－－－－－－－－－－－－－－第一次用分割線－－－－－－－－－－－－－

剛才發現，可能這樣還沒完整回答題主的問題。就是為什麼「CRR或RB樹對衍生品的定價收斂於Black－Scholes formula」。

衍生品的價格呀，說白了就是未來現金流對出現這個現金流的概率的積分，再discount一下。

$V(S(t),t,T)=mathbb{E}[ B(t,T)int_{0}^{infty} V(x,T,T) imes P(S(T)=x) dx ]$ ,
where $B(t,T)$ 是一個risk－free bond， $V(x,T,T)$ 是到期日股票價值為x是對應的衍生品現金流。

在你建立起一棵 CRR或者RB樹後，樹的最後一層對應著任何可能的股票價格 $S(T)=x$ , 而當你用 $S(T)$ 得到 $V(S(T),T,T)$ 後，再根據概率 $p_u, p_d$ 和利率往回discount時，就相當於做上面的那個積分。

例如一棵10層的樹，最大的股票價格為
$S(t) imes u^{10}$ ,近似上面積分中股票價格趨於無窮的情況。對應call option的payoff 為 $(S(t) imes u^{10}-K)$ , 往回discount 時，它對期權價值的貢獻就是，

$(S(t) imes u^{10}-K) imes p_u^{10} imes e^{-10rDelta t}$

二叉樹往回走的時候相當於計算一個積分的離散形式。

所以當樹的層數越來越大，模擬到期時的股票價格的分布就越精確，積分也就越精確。

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感謝指出錯別字，正太分布已經變回正態分布了。當然又是因為中心極限讓獨立同分布的正太的和還是收斂到正態。

[1]A Jump to Default Extended CEV Model:
An Application of Bessel Processes，Peter Carr and Linetskyá，（2007）

[2]Nawalkha, Sanjay K. and Beliaeva, Natalia, Efficient Trees for CIR and CEV Short Rate Models (February 2007). Available at SSRN: ssrn.com 的頁面 or http://dx.doi.org/10.2139/ssrn.976819
[3]John Hull and Alan White, "Numerical procedures for implementing term structure models I," Journal of Derivatives, Fall 1994, pp 7–16

[4]John Hull and Alan White, "Numerical procedures for implementing term structure models II," Journal of Derivatives, Winter 1994, pp 37–48

[5] Cox, J. C.; Ross, S. A.; Rubinstein, M. (1979). "Option pricing: A simplified approach". Journal of Financial Economics7 (3): 229. doi:10.1016/0304-405X(79)90015-1. edit
[6] 找不到

二叉樹模型當步數趨於無窮時，股票價格依然是對數正態分布的。因為假設是股票價格每一步是上漲過下跌同一個比例，而不是上漲過下跌同一個數字。

理解股票是個連續的走勢即連續函數

二叉樹是不連續函數

不連續函數的極限是連續函數

二叉樹就像高爾頓版實驗。

高爾頓釘板_百度百科
從入口處放進一個直徑略小於兩顆釘子之間的距離的小圓玻璃球，當小圓球向下降落過程中，碰到釘子後皆以1/2的概率向左或向右滾下，於是又碰到下一層釘子。如此繼續下去，直到滾到底板的一個格子內為止。把許許多多同樣大小的小球不斷從入口處放下，只要球的數目相當大，它們在底板將堆成近似於正態的密度函數圖形（即：中間高，兩頭低，呈左右對稱的古鐘型），其中n為釘子的層數。

Black-Scholes是在正態分布假設下的解。
高爾頓版下面的槽就是最後一級二叉樹裡面你所假設的協議價格，而你要求的是最上面你釋放球的點在哪裡，在布朗運動假設下，你會發現你最終算出的二叉樹的概率分布乘到最後一級非常接近正態分布。而你算得的解非常接近連續布朗運動假設下的解（B-S）。

二叉樹是Black-Scholes PDE的explicit discretization

bs的那個sde的解是幾何布朗運動，二叉樹的步數無窮小了的分布是對數正態，原理上和隨機遊走極限是布朗運動是一樣的。

數學上的證明看論文就好了。題主問直覺上的理解，無論是二叉樹定價還是BS公式的證明，運用的都是no arbitrage的條件（or 其它等價條件），那麼二者的聯繫就是用離散趨近連續，即當step足夠小的時候，二叉樹可以在足夠高的精度下接近連續情形，也就是極限的定義了。這個結論顯然不是任何時候都成立的，在隨機過程里會講GBM的性質，特定的性質決定了可以這樣做。而且二叉樹可以逼近GBM和二叉樹定價可以逼近GBM又是兩回事，就像用simple function（or step function）逼近連續函數，不代表積分完之後也能逼近，要用用控制收斂定理什麼的驗證一下。

不僅是二叉樹，只要用iid樣本模擬（保證可積性）的都收斂到BS。
參考
Donsker Invariance Principle

不問是不是就問為什麼.

二叉樹定價下，當假定步數趨近於無窮時，股票價格呈現正態分布

誰說的?

股票價格是正態分布，股票收益率是對數正態分布。