為什麼長方形面積是長乘寬？

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一句話：這是歐式空間平移不變性的必然結果。

首先，我們承認面積的平移不變性，這是出發點。平移一個矩形，使其下寬與原來的上寬重合，其面積不變。平移前後兩個矩形組成一個大矩形，其面積是原矩形的 2 倍（由前面的平移不變性得到），其長也是後者的 2 倍（由線段的平移不變性得到），這暗示面積與長成正比，證明略。同理面積與寬成正比。所以面積的最簡表示為「長×寬」。

勒貝格、測度論啥的，不能解決這個問題，因為外測度正是建立在長方形的面積（或 n 維開矩體的體積）這個概念之上的。

人們在對面積公式一無所知的時候，依然知道面積的一個性質，即平移不變性，小彩電從卧室搬到客廳也不會變成 60 吋。他們感受到平移不變性，發現了平移不變性，習慣了平移不變性，離不開平移不變性。所以平移不變性是基本性質，是第一要義，是要首先滿足的，即便是歐式空間中各種測度的建立，也個個都想方設法保證自己滿足這個性質。

嚴格證明是很麻煩的，要用到各種測度的定義，以及證明這些測度的 bi-Lipschitz 不變性

很喜歡這個題目，問得真好。一上來就用測度論來解釋好像有「我們抽象出來的定義是這樣，所以就是這樣」的味道。
那麼生活中面積的定義是什麼，你先不用管，但是你發現了面積有個特點，就是它和長度是成正比，同時它和寬度也是正比，所以它應該是和「長乘以寬」成正比的，所以簡化期間就記成是長乘以寬就可以了。
實際上可以這樣想，如果人們一定要給全世界的面積公式都加上一個正比係數k，認為面積等於長*寬*k也沒有問題，只是k取1的時候計算最方便。
如果人們對面積的單位定義不叫「1個平方米」「2個平方米」也沒關係，比如定義面積單位叫做「1個知乎」「2個知乎」什麼的也沒有問題。
最重要的是承認面積和長度和寬度成正比就可以了。7米見方的正方形如果面積是「1知乎」的話，14米見方的正方形面積一定是「4知乎」。
非常贊同@屈竟通的答案！

其實這是面積的定義來的，

排名最高的答案沒有交代比例係數的問題，我不是專門搞數學的，獻醜了，還望各位指正

從考慮量綱分析出發
假如長寬單位取米，則面積的單位為平方米

確定一個長方形只需要確定其長寬即可，則可以說長寬的信息足夠描述一個長方形
因此根據量綱分析有

S=f(a)·g(b)

其中f(x)與g(x)必為x的一次函數
考慮長寬具有交換性，立即有f=g
不妨設f(x)=kx
則S=k^2·ab

至此，長方形面積正比於長和寬已被證明
只需要證明k=1即可
已知單位正方形面積為1，代入立即有k=1

證畢。

補充：如果擴展到任意平行四邊形，則這個k^2顯然為兩邊夾角的餘弦值。

對於一個長為2a,寬度為b的長方形，其面積是長度為a寬度為b的長方形的面積的兩倍

然後就是從 +1操作---&>自然數加法--&>自然數乘法---&>有理數加法乘法---&>實數加法乘法的過程走一遍就可以了 (同時認為長1寬1面積則是1) [好吧，定了標準之後直接積分也可以]

然後三角形.......拼接積分什麼的隨便了........

好吧，其實根本原因是：
長1寬1面積則是1
長方形加倍某條邊時，面積加倍

先要求出等腰直角三角形面積，求出後即可求正方形面積。設大等腰三角形A的直角邊長為a，面積為f(a).由三角形B和三角形A相似可知，三角形B面積=1/2三角形A面積，同理三角形C面積=1/2三角形B面積。所以得f(a/2)=1/4×f(a), f(√2a/2)=1/2×f(a)。只考慮f(a)為多項式，其他三角函數、指數、對數都不考慮。代入多項式即可求得指數為2，係數為1/2.

離散地來看. 長方形可由長乘寬個單位矩形填滿, 面積是這種計數延伸到非離散情況, 或, 將單位矩形無限細分, 這種計數相等保持不變. 再嚴格說, 就是測度論了.

我們認識物體，直觀的就是其形狀、大小等。
通常來說，我們的世界是三維的，就形狀而言，有規則體和不規則體；就大小而言，我們稱之為物體的體積。
而二維的大小，最初應該是用於公平的丈量分配土地，我們稱為面積。
不管是二維還是三維的大小，都是從規則體正方形和正方形定義的，定義邊長為1的正方形面積為1，邊長為1的正方體體積為1。
一個邊長a的正方形可以分為a^2個標準1面積的正方形，所以它的面積是a^2；
得出正方形面積是邊長的平方；
同理，長方形的面積公式也由此推出：
一個axb的長方形，可以分為ab個的標準1面積的正方形，面積ab恰恰是長乘以高。
然後在長方形的基礎上可以推導出直接三角形的面積=ab/2；
由直角三角形可以退出普通三角形的面積公式
在長方形和直角三角形的基礎上可以推斷出平行四邊形的面積公式；

喜歡這個問題！這個問題的本質是一個在數學史上非常重要的問題-什麼是面積？勒貝格也問過同樣的問題(傳聞是在他小學六年級的時候)並以此促成了測度論以及測度中運用最為廣泛的測度-勒貝格測度的誕生。
面積從數學角度理解不過是長度的笛卡爾積，形象點說就是」二維「的長度。解決了什麼是長度，再把她推向高維就可以解決什麼是面積。
那什麼是長度呢？測度論的角度來說就是一個可測集的度量。說的通俗點就是一個西紅柿袋子裡面西紅柿的個數。西紅柿可能很多，比如有3個那麼多，或者有自然數那麼多。而個數應該是一個廣義實數，比如5^1/2或者乾脆正無窮。如何建立一個足夠好的映射，把隨便一個裝西紅柿（或者裝苦瓜）的袋子映射到一個實數便是測度論討論的核心問題。這個映射應該滿足幾個條件：能夠測量的袋子應該儘可能的多，最好是不管多麼變態的袋子都能映；要符合常識，不能明明三個馬鈴薯映成5；要能」加起來「-一袋1個玉米映成1，一袋2個蘿蔔映成2，那麼一袋1個玉米兩個蘿蔔應該映成3；最後是要滿足樓下所說的平移不變形。所以@屈竟通嚴謹地說，平移不變形應該是好測度的一個性質而不是測度必須滿足的第一要義。以我的理解測度的根本應該是勢，也就是數數。
（不過我非常理解你是為了強調平移不變性的重要性才這麼說的。我覺得你的答案比我的更為好懂和直觀，很有古希臘人的韻味，雖然沒能把樓主引到現代幾何學的康庄大道上去。另外我期待你的反駁^^）
思考這個問題的過程是激動人心的。遺憾的是，關於這個問題最重要的結果目前已經相當完善了。這從另一個角度也是好事－樓主思考完之後有「標準答案」可以參考。
可以參考kolmogorov的elements of functions and functional analysis.(也有中文翻譯，但翻的
奇差無比。我們老師讓我們用英文書)覺得麻煩可以wiki「勒貝格積分」。

定義是邊長為1的正方形面積為1，用正方形來鋪長方形，根據乘法定義可以推出長方形面積公式。兩個三角形可以拼成一個平行四邊形，小學教材上有。

本質是乘法的定義。

任何一個度量都需要定義單位，然後才能度量。比如對於計數，我們定義一個單位，為1，當我們要計算總量的時候，我們每次加一個單位，就能計算總量了。自然數的加法就是每次加1， 1+1 =2， 2+1=3。這個時候加法算是計算量累計的運算。然後說面積。我們要度量面積，那麼就需要定義面積的單位，比如我定義一個速食麵那麼大的面積是一個面積單位，那麼我現在有1個速食麵，別人又給我一個速食麵，那麼，我就有2個速食麵了，在數量上是2，在面積是2。有個人每次給我2個速食麵，連續給我3次，我可以表示為2*3連加，我可以把這些速食麵排成一條直線，那麼他的面積是6，我也可以把這個速食麵摞起來，變成3層，每層兩個速食麵。這時候可以看出就是2*3。面積相當於定義面積的單位，然後進行面積的累加，這時可以用乘法來表示。
上面的面積與長寬是正比關係也是一種解釋方法。

往往越是「直觀」的東西越沒那麼容易證明，問這個問題的人顯然是不接受「直觀」的證明的，若果真對這個問題感興趣，或許可以嘗試先從理解「面積」的定義入手，這樣或許就可以自己完成其嚴格證明了。

我們把1X1的正方形面積定義為1，於是axb的長方形面積為axb。

1. 當有了矩形的長x和寬y之後，可以定義很多映射f(x,y)作為面積的候選度量方案。不妨先隨機的選取f的定義。
2. 假設選取f(x,y)=x*y，在有理數的限制下簡單表明x*y的意義，如3所述。
3. 假設有兩個矩形(x0,y0)和(x1,y1)，在x和y都是有理數的情況下，可以很容易的把問題轉換成長寬都是整數的情況，這樣就可以找到一個其長寬可分別被公約的單位矩形，用若干個單位矩形去覆蓋。
4. 根據經驗發現，以x*y這個值對矩形進行排序與經驗保持一致。這至少就得到了一種對於面積的測度，當然或許不是唯一的，比如用f(x,y)=(x*y)^n，冪也可以，但是f(x,y)=x^n * y^m不行。
5. 嚴格證明上述思路。這就是測度的思想了吧。

因為在這個定義下的「面積」有好的性質，可以幫助理解更深刻的東西。

我們建立一個平面直角坐標系，有單位點A(1,0)和B(0,1)和點E(1,1)。

那麼對於任意一個點P(x,y)，分別向x軸和y軸作垂線，垂足分別為C(x,0)，D(0,y)。

然後我們求長方形OCPD的面積，我們用正方形OAEB的面積倍數來度量。

延長BE，交CP於F(x,1)，那麼我們可知長方形OCFB和正方形OAEB的面積之比為OC/OA，即|xP|

同理，長方形OCPD和長方形OCFB的面積之比為OD/OB，即|yP|

於是長方形OCPD與正方形OAEB的面積之比為|xPyP|

Area is the quantity that expresses the extent of a two-dimensional figure or shape, or planar lamina, in the plane.

The area of a shape can be measured by comparing the shape to squares of a fixed size.[2] In the International System of Units (SI), the standard unit of area is the square metre (written as m2), which is the area of a square whose sides are one metre long.[3] A shape with an area of three square metres would have the same area as three such squares. In mathematics, the unit square is defined to have area one, and the area of any other shape or surface is a dimensionless real number.

the problem of determining the area of plane figures was a major motivation for the historical development of calculus.

From Area - Wikipedia

對於本問題，知道上面這些就基本胸有成竹了，但是，順便了解一下「測量單位」也是有好處的

A unit of measurement is a definite magnitude of a quantity, defined and adopted by convention or by law, that is used as a standard for measurement of the same quantity.[1] Any other value of that quantity can be expressed as a simple multiple of the unit of measurement.

For example, length is a physical quantity. The metre is a unit of length that represents a definite predetermined length. When we say 10 metres (or 10 m), we actually mean 10 times the definite predetermined length called "metre". Measurement is a process of determining how large or small a physical quantity is as compared to a basic reference quantity.

The definition, agreement, and practical use of units of measurement have played a crucial role in human endeavour from early ages up to this day. Different systems of units used to be very common. Now there is a global standard, the International System of Units (SI), the modern form of the metric system.

In trade, weights and measures is often a subject of governmental regulation, to ensure fairness and transparency. The International Bureau of Weights and Measures (BIPM) is tasked with ensuring worldwide uniformity of measurements and their traceability to the International System of Units (SI).

From Units of measurement

aaa的正方體，重量g，兩個aaa接合起來，2aaa，而重量正好是兩倍，面積也正好損失兩倍