求精確解：平面地圖上偉大祖國的面積小於美帝多少？
從小喜歡看地圖，總是覺得美國國土面積比中國大，直到二十年後的今天我才意識到自己被平面地圖騙了。地球球體展開成平面，我們中國人看到的地圖都以東經150度為中心，美帝比中國更遠離中心，所以平面地圖上美帝一定被放大了。如果看地球儀，一定可以看出來美帝還是小於中國的。
但是工科出身的我地理一般，數學也不怎麼地，求助各位大神以下問題：如何精確計算出美帝在平面地圖上比我偉大的祖國大了多少？平面地圖下方的比例尺是怎麼定義的，在地圖中心的比例尺和地圖邊緣的比例尺一定不一樣？
地圖學學得早，全還給老師了，試試看還記得多少吧。
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題主的中心問題，是想知道地圖上兩個國家的面積之比。其次，是想了解一下比例尺的相關知識。
以下是正文：
一、地圖上的「國家面積」（主要內容）
眾所周知（？），地圖與實際的地球表面是不同的。地球表面是一個不可展開的閉合曲面，作為平面載體，目前的紙質地圖無法無損地還原球面上的信息。在從曲面投影至平面的過程中所損失的信息，和投影的方式有關。按照投影之後對信息的保留程度，我們可以將投影大致分為等積投影、等距投影、等角投影和任意投影。
顧名思義，
等積投影生成的地圖，地物之間的面積關係是不變的，該比誰大多少倍，還是比誰大多少倍；
等距投影則保證了圖上測量的距離關係不變，在曲面上該離誰遠的，依然近不到哪裡去；
等角投影則保留了形狀特徵，該圓的不會變成橢圓，該正方形的不會變成長方形；
任意投影沒有那麼強迫症，不像上述三種為了保留某一個方面的精確信息而犧牲了其他方面的精確性，為了滿足一般性的需求，它在面積、距離、角度上都有變形。
如果題主看到的是一張使用等積投影地圖，那麼就不會有現在的這個問題了。
比如彭納投影就是一種等積偽圓錐投影，全球地圖效果如下：
（非專業人士看起來可能覺得略喪失，不過之所以放這個，是因為百度不到清晰的等積方位投影，只好用這個頂上了）
題主看到的地圖，在很大概率上是這種：
（貌似是張高清大圖）
這種地圖使用的是中國地圖出版社在1963年設計的等差分緯線多圓錐投影（鏈接：等差分緯線多圓錐投影）。大陸出版的世界地圖多半用的這種投影（港澳台用不用不太清楚，所以只提了大陸）。
這種世界地圖的投影變形分布如下：
（等差分緯線多圓錐投影的角度變形）
（等差分緯線多圓錐投影的面積變形）
從題主的問題來看，題主比較關心的是面積變形，所以只要看第二張圖就好了。
可以看到，圖中有一條標註1.0的虛線，表示的是這條線上測得的面積和在地球表面測得的沒有區別（實際上還是有區別的，畢竟地球體和大地體還是不一樣的，不過科普程度就不要糾結這些了），而離開這條虛線，面積都會發生形變，四周面積會放大，內部面積會縮小。所以在這種投影下，大洋洲和亞洲的東南部分會看起來小一些，而美洲、非洲、歐洲和高緯地區會被放大，美國看起來比中國大也屬於正常現象。
二、得到圖上面積的方法
其實當我寫下這個小標題的時候，我自己都覺得無比憂愁。
這邊簡單說三種方法吧。
第一，計算。這種方法非常的簡潔清晰（？），首先你需要搞到這張地圖所使用的投影，然後求解面積變形的函數，然後用某個國家的輪廓為邊界，做一個二維積分。看起來非常簡單有木有！做起來簡直要以頭搶地......（╯‵□′）╯︵┴─┴
第二，機測。事實上市面上存在一種裝置，叫做求積儀：
實際上求積儀的原理也是做微積分，不過是在極坐標下，而且不用動腦。（鏈接：求積儀）
第三，開外掛。這裡介紹兩種腦洞大開的方法。
第一種方法是現代科技的產物，首先你得有一台電腦和一台掃描儀，將地圖掃描進電腦，然後把需要的國家挖出來，接下來你就可以愉快地數裡面一共有多少個像素點啦......如果你懂得GIS軟體的基本操作，這個過程會變得容易得多。
第二種則是偉大的革命先輩們在困難時期創造出來的，操作門檻低得多，在家裡也可以做。首先你需要一張地圖，然後你需要一張竹紙，接著你需要把你想測量的國家臨在竹紙上，請畫仔細嘍。畫好了？把竹紙拿起來，拿出準備好的剪刀，把國家輪廓小心地剪下來。完成了？很好，請拿出準備好的分析天平，稱量剪下的紙片的重量。那麼這個國家的圖上面積，就等於（國家竹紙重量×全圖面積÷全圖竹紙重量）。什麼，你說沒有分析天平？好吧你可以沿竹紙上的圖案減一個卡紙的嘛。什麼，你連物理天平都沒有隻有桿秤？你可以把輪廓描在等厚的木板上，然後鋸下來稱......
至於具體的數值，方法都在上面了，我動手能力差，樓主還是自己發揮一下工科生的動手能力吧。
三、比例尺相關
比例尺是圖上距離與實地距離之比，中學階段有要求，比較基礎就不展開了。
在義務教育階段能接觸到的比例尺多半長成上面這樣，老師口中的
雖然數字式比例尺在習題中的出場率較高，但實際上在地圖中，還是圖解式比例尺更受青睞。原因在於，圖解式比例尺允許地圖進行任意地放大和縮小，而不像其他兩類比例尺一樣，地圖一縮放就得換算。在信息時代，這個特性更顯得難能可貴。
圖解式比例尺的正確使用方法：
對於圖解式比例尺而言，經常會設置左右兩部分，左側部分相當於「小數」，右側部分相當於「整數」，測量的時候使用圓規非常的簡便快捷，直尺什麼的留給數字式就好啦。
為了可以測量到更精確的小數，還可以使用斜分比例尺，因為使用了多組斜線，所以在斜線和水平線的交點出可以取到更奇葩的小數啦。
當地圖比例尺較大（也就是表示的區域比較小）或者精度要求低（比如用於科普或義務教育）的時候，可以忽略投影帶來的面積變形差異，使用統一的比例尺，但是當上述條件不滿足的時候，就需要使用一些能表示投影差異的比例尺了。
比如我們將不同經線和緯線上的比例尺排列在一起，就得到了經緯度比例尺：
此外在國家基本比例尺地形圖上還會看到一種比例尺：
實際上說這是比例尺也不太對，它叫坡度尺。因為國家基本比例尺地形圖是一種等高線地形圖，這個坡度尺是用來測量兩條等高線之間的坡度的。左下部分和右上部分分別供相鄰兩條等高線和相鄰六條等高線時使用。不過國家基本比例尺地形圖普遍涉密，所以大部分同志你們想想就得了別指望能拿到手。
打完收工。
先附上指正內容，手機修改不便另附【@楊文豪 的指正...第一張中國大陸政區圖用的是「正軸等積割圓錐投影」，也叫Albers投影；第二張手繪世界地圖使用的是「等差分緯線多圓錐投影」或者「正切差分緯線多圓錐投影」，兩者比較像我區別不出來；那張手繪的亞洲圖使用的是某種正軸圓柱投影，而不是橫軸圓柱投影。墨卡托是等角圓柱投影的統稱，UTM通用橫軸墨卡托是「橫軸等角割圓柱投影」，不是正軸圓柱投影，而高斯克呂格投影是「橫軸等角切橢圓柱投影」，也不是正軸圓柱投影。】
彭納投影：我們經常看到的地圖，就是牆上的挂圖，所採用的投影方式叫做彭納投影，所看到的經緯線都是曲線，這種投影系也就圓錐投影。圓錐投影是有投影中心的，一般的比例尺取決於投影中心點的比例，一些詳細的地圖會有投影中心的經緯點，離中心越遠，比例尺就約大，誤差越大。假設一般牆上1比500萬的世界地圖其中心投影在（０°，180°）的話，靠近赤道的中國顯得要比面積相近的美國小。
該圖就是一張彭納投影的圖，都見過（過年在老家，手邊沒有比較詳細的圖）
就像這樣的也是彭納投影。
墨卡托投影：該投影下的經緯線都是直線，大家見到的地方就是航線圖，時區圖。。。屬於圓柱投影，這種投影分為多種
例如這張丹麥，它的投影中心在56N，11E，經緯比就是cos56°，在小範圍的地圖上墨卡托投影是比較直觀的，地圖比例尺的誤差率也不大，但在較大範圍下用單一比例中心的地圖形變就會隨著cos的值劇烈變化。。。冷戰時期畫蘇聯地圖時北約就很喜歡這種畫法，蘇聯在這種圖上看上去足足7，8個中國大。。。老版的歷史書就曾經用過這樣的投影圖。
這樣的話地圖就不忍直視了，所以摩卡托就有了新的變種------UTM，通用墨卡托投影，UTM投影是橫軸等角割圓柱投影。此投影系統是美國編製世界各地軍用地圖和地球資源衛星像片所採用的投影系統，簡單來說為了方便實際的運用和定位，對分區的經緯比進行了調整（相對於傳統的墨卡托投影）
例如這張亞洲氣候圖簡圖，經緯比就是適當調整過的，看起來和用起來就很協調。
高斯投影：當然，通用墨卡托投影的理念來源於高斯-克呂格投影，經緯線還是直線，根據實際應用來調整經緯線的斜率和比例
上圖中的北美氣候就是用了高斯投影法，而南美和澳新氣候就是簡單的墨卡托畫法。
這類科學叫做地圖製圖學，以下是具體分類的百科內容：http://wapbaike.baidu.com/rs/34858.htm?uid=885D18CFFD7B4C866D913BF97EC70FA9ssid=0pu=usm%400%2Csz%401321_2003%2Cta%40utouch_1_8.1_1_10.3bd_page_type=1from=1010873ast=3step=2net=2ldr=2lemmaid=3810782sublemmaid=3810782page=0bk_fr=bk_view_foot
我是學習財務的，但喜歡地圖學，非專業內容，望指正。
果然還是沒看到標準的問題答案。
首先明確一個問題，在地圖美帝不一定比大天朝要小，這取決於採用的地圖投影的方式與投影中央經線的位置。你去美帝看看以美帝為中心的世界地圖，我們國家絕對比美國小，而且雄雞以一種很奇怪的姿態扭曲著。
具體原因後面再說，先說說地圖投影的步驟吧，把地球從一個二維不可展的曲面投影到平面，是先把地球投影到一個二維可展的曲面，比如與地球某一條緯線相切或者相割的圓柱面或者圓錐面，或者直接用與平面然後再把可展曲面沿一條母線展開成平面的。投影方式與普通意義下的透視投影有很大的區別，是嚴格按照數學公式確定地球上每一個點，坐標為經度L和緯度B，到平面上橫坐標y，縱坐標x的一一映射關係。這時候會產生投影變形。有長度變形面積變形和角度變形，可以通過求解微分方程的方法求出一種投影映射函數，使得投影沒有角度變形，沒有面積變形，或者沿某些重要方向沒有長度變形。而投影變形又有一定的規律，一般來說等角投影面積變形達到最大，等面積投影角度變形最大。
回到題主的問題，首先現在世界地圖採用的投影一般為摩爾維特投影等等，屬於任意投影，也就是介於面積變形最大與角度最大之間，變形總體規律是，離投影中央經線越遠，面積變形越大，離赤道越遠面積變形越大，所以以中國為中心的世界地圖當然美帝就很奇怪的變小了。但要是換一種等面積投影，不管怎麼投，中國和美國大小都是一樣的，而如果換成以美國為中心的投影了，那中國反而比美國要小了。
所以請題主指出地圖投影的數學公式，中央經線的經度等必要信息，才能進行計算
中國領土還未擴張定型。你現在精確到小數點幾位，萬一哪天領土增加到了豈不是打臉！
從官方數據看，我國比美國大了30萬平方公里，不過我國國土面積一直是約960萬，看別國都是精確到個位數，感覺我國好奇葩
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