如何廣義地理解「所有自然數之和」？

11-16

所有自然數之和是負數？！（這是謬誤問題）

發散級數在其它意義下的求和（需要普通微積分水平的背景知識）

視頻開頭 $sum_{n=0}^infty (-1)^n=frac{1}{2}$ 這個問題依賴於數列極限的定義。

考慮 Cauchy 的數列極限定義：
如果部分和數列 $S_n$ （ $S_n=sum_{i=1}^n a_i$ ）收斂於有限數 $s$ ，則對於任意 $varepsilon>0$ ，存在正整數 $N$ ，當 $n>N$ 時， $|S_n-s|<varepsilon$ 。即加的項數足夠多以後，部分和 $S_n$ 與 $s$ 「要多接近有多接近」。

在上面的定義下級數 $sum_{n=0}^infty (-1)^n$ 是不收斂的。這可以通過Cauchy收斂定理加以說明：任何收斂的級數其通項必須趨於 $0$ 。顯然這個交錯級數不滿足這一性質。其實從上面的定義中可以看出部分和在 $0$ 和 $1$ 之間來回震蕩，不可能穩定於某個 $s$ 。

數學家為了讓這樣的數列收斂，就修改了數列收斂的定義。其中一個就是 Cesaro 平均收斂。所謂平均收斂, 只要求 $lim_{n oinfty}frac{sum_{i=1}^n S_i}{n}$ 收斂即可，即相當於對 $S_n$ 求平均值。在這個意義下級數收斂： $S_n$ 在 $0$ 和 $1$ 之間來回震蕩，它的平均值是 $frac{1}{2}$ 。

所以 $sum_{n=0}^infty (-1)^n$ 收斂與否，歸根結底是我們對「和」的定義不同。但要指出，Cesaro 和與 Cauchy 和的定義是相容的：如果一個數列在 Cauchy 和的意義下收斂於 $s$ ，則在 Cesaro 和的意義下也收斂於 $s$ ，但反之不然。

有關發散級數在其他定義下的「和」還有很多：比如 Abel 和定義為 $lim_{x o1^-}sum_{n=0}^infty a_nx^n$ 。容易證明 Abel 和比 Cesaro 和更弱：如果一個數列在 Cesaro 和的意義下收斂於 $s$ ，則在 Abel 和的意義下也收斂於 $s$ ，但反之不然。一個反例是 $sum_{n=0}^{infty}(-1)^n(n+1)$ ，可以證明這個數列在 Abel 和下收斂於 $frac{1}{4}$ ，但不能 Cesaro 求和。其他一些例子可以參考 Wikipedia：發散級數。

所有自然數的和 $sum_{n=1}^infty n$ 這個級數在 Cesaro 和 Abel 和的意義下都不收斂。因此為了得到 $sum_{n=1}^infty n=-frac{1}{12}$ 我們還需要更進一步的看法。

有關錯位相加

視頻之後的計算幾乎是毫無道理的。條件收斂的級數不能隨便改變求和順序，更不必談原本就發散的級數。所以錯位相加肯定是錯誤的。舉一個例子：考慮級數 $A_n=underbrace{1+1+ldots+1}_{n ext{個}}$ ， $B_n=underbrace{-1-1-ldots-1}_{n ext{個}}$ ，這兩個級數顯然都是發散的。但是我們將其錯位相加：如果錯一位得到的結果便是 $1$ （或 $-1$ ，取決於你錯位的方法），錯兩位便是 $2$ （或 $-2$ ）。不同的錯位方法得到的結果不同，錯位相加自然不是一個合理的計算方法。

Casimir effect 與權重因子（最好能有量子場論的背景知識）

所有自然數之「和」是 $-frac{1}{12}$ 這個結論曾經出現在 A.Zee 的《Quantum Field Theory in a Nutshell》關於 Casimir effect 的推導中。具體可以參考 1.9 Disturbing the vacuum 一節。在弦論中也出現過很多類似的求和。這也就是說， $sum_{n=1}^infty n=-frac{1}{12}$ 這個奇怪的結果有確實可觀測的物理效應。這已經不是單純利用定義的不同所可以解釋的了。

在 A.Zee 的關於 Casimir effect 的推導中，所用的解釋是板振動的頻率不可能無限高，高於某個截止頻率 $a$ 以後的項都要忽略最終得到這樣的結果。他所採用的方法是為 $n$ 配了一個 $e^{-an/d}$ 的「權重因子」，再對權重因子求和，當 $a o0$ 時展開保留第一項，這是一種常見的方法。下面的這段計算來源於 Polchinski 的《String Theory》的書後習題：
$S=sum_{n=1}^infty n e^{-varepsilon n}=frac{e^varepsilon}{(e^varepsilon-1)^2}$
它在 $varepsilon=0$ 附近的 Laurent 展開是 $frac{1}{varepsilon^2}-frac{1}{12}+frac{varepsilon^2}{240}+O(varepsilon^4)$ 。在 Casimir effect 中第一項被真空中的零點能抵消，所以只剩下 $-frac{1}{12}$ 。真空中的零點能也出現在弦論中，而且弦論中類似的計算中第一項也會被消去。這種找到無窮大的方法實際就是量子場論中的正規化(regularization)，而扔掉它則對應著重整化(renormalization)的想法。

因此 $sum_{n=1}^infty n=-frac{1}{12}$ 實際上被物理學家解讀為 $S=sum_{n=1}^infty n e^{-varepsilon n}$ 在 $varepsilon=0$ 附近的 Laurent 展開的零階項的係數。

$zeta$ 函數與解析延拓（需要複分析或者複變函數水平的背景知識）

注意到這樣一個冪級數展開 $sum_{n=0}^infty(-1)^{n}x^n=frac{1}{1+x},|x|<1$ 。如果在上式中令 $x=1$ ，似乎就得到了 $sum_{n=0}^infty (-1)^n=frac{1}{2}$ 的結果。但要注意上式只有在 $|x|<1$ 的區域內收斂，令 $x=1$ 實際上是對相當是對 $sum_{n=0}^infty(-1)^{n}x^n=frac{1}{1+x},|x|<1$ 作解析延拓到全平面（除了 $-1$ ）的結果。

因此所有自然數之「和」是 $-frac{1}{12}$ 其實還有一種更簡單的看法。注意到黎曼ζ函數的定義是 $zeta(s)=sum_{n=1}^inftyfrac{1}{n^s}$ 。所謂所有自然數之「和」便是 $zeta(-1)$ 。在解析延拓的意義下， $zeta(-1)=-frac{1}{12}$ 。

解析延拓很不直觀，這個結果和我們之前有關的結論能否對應？答案是肯定的。在陶哲軒的博文 The Euler-Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta function, and real-variable analytic continuation 中，便提到解析延拓和光滑漸進形式的聯繫。在第一部分陶哲軒把一個級數改寫成 smoothing sum 的形式並且估計 smoothing sum 的余項。第二部分用這個漸進形式可以得到和解析延拓的關係。這篇文章答主並沒有仔細閱讀過，感興趣的同學可以自行閱讀。
博文網址：http://terrytao.wordpress.com/2010/04/10/the-euler-maclaurin-formula-bernoulli-numbers-the-zeta-function-and-real-variable-analytic-continuation/

總結

我認為這個問題的來源於對數學中定義的濫用，以及人們對定義的誤解。

數學家是這個世界上最嚴謹的一批人，他們談論什麼都有據可循。事實上，數列極限本身就是一個有嚴格定義的概念（可見答案最開始處的 $varepsilon-N$ 定義）。所有學過微積分的同學不妨問自己 $sum_{n=1}^inftyfrac{1}{n^2}=frac{pi^2}{6}$ 中這個等號的意義是什麼，和 $1+1=2$ 中的等號是否意義相同？一個嚴肅的數學家絕對不會輕易寫下「 $sum_{n=0}^infty (-1)^n=frac{1}{2}$ 」，而是可能會告訴你這是在 Cesaro 和意義下的結果或是解析延拓意義下的結果，這裡等號的意義已不是 $sum_{n=1}^inftyfrac{1}{n^2}=frac{pi^2}{6}$ 中的等號或是 $1+1=2$ 等號的意義。

至於在解析延拓的意義下 $sum_{n=1}^infty n=-frac{1}{12}$ 這個式子為何會有物理上的效應，這是另外一個問題。粗略地說是因為解析延拓可以反映求和的某些漸進行為。而這背後蘊含的則是物理中正規化的方法和重整化的思想。

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補充一點觀念上的東西：
很多人可能忽略了一個問題，為什麼要計算1+2+3+4+...這個在大家看來明顯很蛋疼的級數。如果看了陶哲軒博文的前半部分，就會發現他透露出了一個觀點：

與其說"算"出一個發散級數的和，不如說尋找某種方法來反映出級數部分和的某些漸進性質。

而具體為什麼要關心這些漸進性質，在不同的應用情況下是不一樣的。比如提到的自然數和與 $zeta$ 函數的解析延拓的關係，事實上 $zeta$ 函數的解析延拓在素數定理的一個證明中是非常關鍵的。雖然沒有直接用到1+2+3+4+...的計算，但是可以間接給出對1+2+3+4+...這個發散級數的「和」的一個理解，或者認為是一個」重新定義「。參見維基百科條目Ramanujan"s summation.

這裡再舉一個例子，有興趣的同學可以參考黑川信重、栗原將人、齋藤毅的《數論II－岩澤理論和自守形式》，在9.5節展示了許多奇怪的乘積公式比如：

$prod_{n=1}^{infty}n = sqrt{2pi}$

以及
$prod_{m,n=-infty, (m,n) eq (0,0)}^{+infty}(m^2+n^2) = frac{Gamma(frac{1}{4})^4}{4pi}$

倘若將這些乘積按照四則運算的方式來理解，顯然沒有任何意義。但是這裡我們玩兒了一個把戲:
(這以下的內容可以忽略)
在數列 $a = (a_1,a_2,...)$ 有限的情形下，設最大的下標為 $N$ ，那麼 $zeta_a(s) = sum_{n=1}^{N}a_n^{-s}$ ，而且 $prod_{n=1}^{N}a_n = e^{-zeta$
若對於無窮數列 $a = (a_1,a_2,...)$ ，取 $zeta_a(s) = sum_{n=1}^{infty}a_n^{-s}$ ，而且我們希望 $zeta_a(s)$ 可以解析延拓為全純函數，那麼我們不妨「強行」重新定義一個數列的無窮乘積為：

$prod_{n=1}^{infty}a_n = e^{-zeta$
按照這個「強行重新定義」，我們就有了類似於 $prod_{n=1}^{infty}n = sqrt{2pi}$ 的奇怪公式。
（可忽略內容結束）

然而為什麼要這樣去做呢？是因為用這種重新定義的無窮積，可以把許多公式比如書中舉的Kronecker極限公式寫成更清晰的形式，來挖掘出更多的有用信息，並不是因為蛋疼或者為了嘩眾取寵娛樂大眾。許多這種無窮積的快速的應用和模判別式(modular discriminant) $Delta (z)$ 有關，比如證明它的變換公式、求它在 $i$ 處的值等等。

然而這種乘積表示有更深刻的類比意義，但是除了一些「形式上」的理解之外我對這方面不是特別了解。

所以若對我的這些解釋加以總結，可歸納為如下幾點：

形如 $1+2+3+... = -frac{1}{12}$ 的發散無窮和是什麼：是為了滿足特定需求對級數和的一種重新定義，或者可以認為只是借用了這個求和符號來表示一些符號可能很複雜的數。
為什麼要計算這類的和：為了滿足如上一句話所說的特定需求。
討論為什麼 $1+2+3+... = -frac{1}{12}$ 和就與討論為什麼規定0的階乘是1一樣（因為如果這麼規定很多組合公式看起來很好看），不應該脫離它出現的數學環境。否則沒有任何意義。

希望這些有幫助。

其他朋友的答案都已經特別到位了，但是還是有朋友邀請我來說說這個求和的物理意義怎樣理解。我想簡單說說一個很直觀的理解，我這裡所說的都會比較基礎一點，知道一點點量子力學的概念應該就能聽了。當然，這樣來講肯定會有很多不妥之處，因為實際上物理學家並不會對所有的能級求和，不過粗淺理解一下或許還是可以的。

現在有一個諧振子（如果覺得這個名字聽起來有點陌生，你可以把它想像成量子化的彈簧），它可以處在各種不同的能級上，即：
$E_n=left( n+frac{1}{2} ight) hbar omega_0$

這裡的 $hbaromega_0$ 是一個很小很小的量。現在來了一大把這樣的彈簧，但是它們互不影響，而是各自獨立振動起來，這時候我們可以直接用 Boltzmann 分布來考慮它們的平均能量：
$langle E angle=sum_nE_n e^{-eta E_n} =sum_nE_n e^{-E_n/k_B T}$

假如把這麼一大堆互相不影響的彈簧都放到高溫的環境里（ $T oinfty$ ），於是 $eta o0$ ：
$langle E|_{T oinfty} angle = sum_n E_n$

其實如果這只是一個彈簧，計算平均能量也可以是這樣來算的，這樣終於就有點要求和的意思了：
$langle E|_{T oinfty} angle = sum_n E_n =hbaromega_0left( sum_{n=0}^{infty} n+frac{1}{2}sum_{n=0}^{infty} {1} ight)$

根據其他回答者給出的海量幫助，這個求和應該不難算出。只是你算出來還是會覺得有點奇怪，這麼一大把彈簧，在這麼高的溫度下狂振動，最後算出來能量竟然為負，還是有點奇怪，但是假如這就是我們的世界，如果我們生活的世界就是一個彈簧亂振的世界呢？事實上，我們還真可以這樣看。我們可以把平時所說的「真空」看成就是有很多很多的彈簧在振動著，我們無時無刻不生活在發散當中，如果要來進行比較，那麼我們應該扣除掉這兩個體系裡面那些同樣發散的部分，這樣我們才能來比較兩個體系。這就類似於高中的時候物理老師天天提醒的「零勢能點」的選擇。

那麼我們現在就真的來比較兩個體系，這其實就是介紹一下 Casimir 效應。

拿出來兩塊金屬板（如下圖），在兩塊金屬板之間，這就是傳說中的無限深勢阱，從普通物理課開始，在駐波、波導管、薛定諤方程等問題里，你可能已經看過無數這樣的題目了。

兩塊金屬板裡面，不是所有的頻率的「彈簧」都能生存下來，你得跟邊界條件配合起來才可以，因此板間的態是受限的，與兩塊板的距離有關的，雖然仍然可以有無窮的狀態，從很低的能量態到很高的能量態，但總是不如板外的狀態那麼多。板內、板外的這種差異，就為兩塊板之間帶來了相互作用。相關的實驗也就證明了真空其實是不空的。

在金屬板外的「真空」，所有可能的頻率都生存了下來。如果要來比較金屬板之間和金屬板之外的情況，就需要拿無窮跟無窮來比較，這時候上面的求和就有意義了。如果這二者之差仍然是一個無窮，這時候你可以引入一個截止頻率來做（對應我上面的簡單的模型，就是有限溫度），當然，也可以不怕無窮。

圖片引自：http://aphyr.com/data/journals/113/comps.pdf
相關的更多計算也可以參考上面給出的材料。

我們都知道自然數是aleph 0，可數但無窮大，跟有理數一樣。@andrew shen 提到像A. Zee的書為例子QFT裏的想法比較有意思。QFT裏我們做perturbation (簡單說就是Taylor expansion) 去計算物理觀測量通常會遇到無窮大，因爲點粒子也就是場，自由度可以是無窮大，quantum correction會發散，譬如我們計算的電子質量。這需要我們用renormalization去考慮物理觀測量的問題。但物理上我們觀測到的電子不是點粒子，而是周圍dress up with photon cloud的電子，所以就算數學上裸電子的質量發散也不緊要，我們更關心當我們每切開一層photon衣裳時(就是「權重因子」的一個項)時correction是怎樣變化，以及對於所有同類粒子(參與electroweak interaction)這個相同的無窮大跟原本裸粒子無窮大cancel 後的有限的觀測值。當然物理上我們也不可能達到無窮小的點粒子，因爲到Planck scale所有我們已知的物理都失效。而在這個scale下我們也要憂慮部分裸粒子能量的引力效應。

個人認為，諸如這類問題，行外人就不要過多湊熱鬧了，都需要極其嚴密的理論基礎，其意義非門外漢能想像。比如對於Riemann Zeta函數，為什麼負偶數全都是零點？這絕非僅掌握了四則運算便能回答的問題，而事實上網上大部分這類問題的關注者也就是僅僅掌握了四則運算而已（或者最多學過一些簡單的不嚴密的微積分知識）。所以說，門外漢關注這類問題沒有意義，等同於民科。有時間湊這個熱鬧，有這個興趣，可以去看專業數學著作，也是好事。

占坑有空答。

摘自大栗博司《超弦理論入門》附錄部分

這個自然數求和結果，對弦理論有重要之意義。用非常非常非常簡單的話來講，在弦理論中，需要(1+2+3+...)為負，才能得到25維這個結果以及超弦理論9維的結果。

這是證明的0.5的文章，
來自煎蛋：小學堂: 表情帝解釋 1-1+1-1… = 0.5

我的數學能力也就停在高中，談談我的理解。
視頻之後的推理都源於0.5這個證明的成立，
所以這個0.5的概念非常重要。

請各路英雄給予證明開頭的0.5

視頻中提到了一個概念開燈代表1，關燈代表0，
那1，0，1，0，1，0，1，0...代表什麼呢？
換成開關燈就變成開燈，關燈，開燈，關燈...
現在開燈照一張照片，關燈照一張照片，
用編輯軟體一幀一幀排開，
記錄一段時間後，
在極短的時間快速播放會變成什麼，
我想是個接近於亮（開燈）和暗（關燈）之間的畫面。
所以這個0.5就代表在短時間內所有開燈和關燈照片形成的畫面。

但是我個人認為這是個動態的和，就是把所有情況集中在某一（時間）點表現出來。
而不是那個我們學的和現實中經常使用的1+1=2的意思。

如有錯誤和無知，歡迎指正。

如果只是數學純票友，可以看這個小視頻：
所有自然數之和

《String Theory》, Joseph Polchinski , vol 1 第22頁 1+2+3+4+……= -1/12

簡單地說：
S1 = 1 - S1，直到這裡都是正確的；
但S1不是一個常數。
簡單算算就知道，S1有時為1，有時為0，所以1 - S1也是有時為1，有時為0。（這種說法並不嚴格，只是提供一種易於理解的方式）（準確地說叫做不收斂。。。大家都知道的哈）
所以，S1不等於1/2。
從那之後的所有證明，都是基於一個基本假設，假設這些和都是存在的，而且都是常數。視頻作者就是基於這種，初等數學裡面的基本假設，來證明出有悖與常理的結果。
正是因為有些問題用初等數學無法解釋，所以才會存在高等數學。

短答案。
所有自然數的和是負十二分之一是錯誤的。

長答案
嚴格的說，樓上的答案都沒有提到的是。

注意到自然數本身是一個環 N（ring）
環對加法封閉
所以自然數的和應該是一個自然數。所以應該是－1／12，因為這個數不是自然數。

上面的回答上用到的自然數，嚴格的說，不能算是自然數。
因為一旦涉及解析延拓，就自然用到了複數。
所以這裡的自然數也實際上不是自然數

而是自然數在複數域上的映射。
就是說，他們告訴你計算的是
1+2+3+4...... 在自然數環 N中
實際上他們考慮的是
1+0i +2+0i+3+0i＋4＋0一..... 在複數域C中。
這屬於偷換概念。

b站視頻
1+2+3+4+5+...=-1÷12？？！ UP主: JerryJohnsonLee 1+2+3+4+5+...=-1÷12？？！

①S1=1-1+1-1+1-1+1-1+1……

由於S1在1和0之間跳動1/2的可能為1，和0 所以取期望S1=1/2.

②S2=1-2+3-4+5-6+7......

2S2= 1-2+3-4+5-6+7......

+1-2+3-4+5-6+7......

=1-1+1-1+1-1+1-1+1......

=S1

=1/2

所以S2=1/4.

③S=1+2+3+4+5+6+7......

S-S2=1+2+3+4+5+6+7......

-(1- 2+3- 4+5- 6+7......)

= 4+ 8+ 12+......

= 4( 1+ 2+ 3+ 4+5+6+7......)

= 4S

所以有S-S2=4S

即是S-1/4=4S

S=-1/12

在此首先想贊同的是「所有自然數的和是負十二分之一
是錯誤的。」

因為覺得不論數學是多麼高深，首先要明白命題的基本含義。這裡應該先搞明白關鍵詞「所有」「自然數」兩個詞的含義。這個「所有自然數」，其實不應該是「充分大」的意思，不論某一個「充分大」或「任何充分大」都僅僅是某人以為夠大的一個有限數而已。在它的「充分大」後面加個0，它就不夠大了，更不用說我們可以在它後面加無數個「0」。這就像哥德巴赫猜想的命題是要求證明「任一大於2的偶數都可寫成兩個質數之和」的道理一樣，不懂得「所有」「任一」即「無窮大」即「無限」之意的人，不可能證明哥德巴赫猜想。因此，「自然數之和是多少？」問題就很簡單：自然數之和=無限大。

如果尚未學過小學語文「所有、任一、無限、自然數」等單詞的，真誠的建議先學好語文再學數學吧。不然其他所做不就多餘了？相信吧！明白了無窮大，那裡就是奇蹟發生的地方！

1+2+3+4+……+∞=-1/12

我看超弦理論的時候也看到這個公式，有這個公式好幾種計算的方法，

雖然我數學很渣，但能發現所謂公式的漏洞，不止一處，

但結合書，這是物理題目，而不是數學題目，

並不是說數學上的計算結果為-1/12，而是從物理學的角度，這個運算結果只能為負，

至於物理學家為什麼要這麼思考，抱歉，我也不知道，

因為利用各種詭辯，既然可以使答案為-1/12，那麼也可以使答案為-1/24，

結果而言，無非就是宇宙的維度不同了而已……

超弦理論是一個恐怕是人類一輩子也無法證明的學說，

物理學家怎麼玩，我這個門外漢看他們研究吧，我反正是無法理解他們的腦迴路……

這裡就補充一點。

牛頓-萊布尼茨和稍早的年代，微積分正在發展，當時數學家可以自由地使用冪級數展開。（冪級數形式上只不過是次數無限大的多項式！）研究數學內部和自然界的各種問題。而函數的嚴格定義和微積分嚴格化是之後一兩百年逐步完成的。現在大學生都會做微積分，但了解微積分的大概歷史和生動直接的精神的並不多。試想牛頓不僅把萬有引力定律當微積分習題而寫下了《自然哲學的數學原理》，而是一面處理自然界提出的問題，一面為處理問題發展數學工具。而且處理問題和發展工具的過程都不是一蹴而就的。微積分嚴格化的意義毋庸贅言。但是先驅這種道法自然的精神在今日數學界已經相當缺乏。

而偉大的數學家歐拉則利用冪級數展開得到眾多結果，並毫不掩蓋地把自己的發現過程、思考過程寫下來。這種精神比熱衷於「拆腳手架」的人不知道高到哪裡去。我們應該學習他致力於縮小差距的共產主義精神。

因此，對於某時代數學家而言，函數差不多就是冪級數。（冪級數不僅是函數的一種表達方式，而且是一種理解方式）但是這個冪級數的定義域是什麼？在大學數學分析中我們知道冪級數有收斂半徑，也可以做延拓。所謂延拓，就是能定義的地方都定義上，極其自然。而複變函數的性質更好：可導=光滑=解析。復解析函數如果看成冪級數，即可在其定義域上自由「延拓」，或者等價定義為延拓在極大定義域上的函數。（「局部拼接至極大」的思想也反映在流形、層等概念上，而拼接的自洽性引導到黎曼面、基本群等數學）

從這種觀點看，zeta函數
$zeta (s):= frac{1}{1^s}+frac{1}{2^s}+frac{1}{3^s}+...$
的解析延拓就極其自然了。zeta函數定義簡明，背景深刻，聯繫眾多數學分支，故在弦論、場論中也有應用。

介紹這些知識或者重訪先驅道路只需要高中生就可以嘗試，但其前端通向數學和物理的前沿，一望無盡。

（除去證明和某些技巧不管，要提出「什麼是自然數之和」這個問題，只需要把1+2+3+。。。和zeta函數聯繫起來——也就是把自然數放到分母上，即讓 $s=-1$ ）

反之，如果不熟悉冪級數展開的思想，就得「被迫」接受和記憶「解析延拓」的定義。

什麼是自然？假作真時真亦假。科學的發展很多來自於對「什麼是自然」的追問。

參考書目：阿爾諾德《惠更斯與巴羅，牛頓與胡克》，波利亞《數學與猜想》

1+2+3+4+5+...=-1÷12？？！快點點贊等啥呢！弦理論的東西

這個視頻之前看過，對他的推導覺得十分神奇，但是到了今天自己重新推導的時候，卻發現了點小問題：

引用來自 @聽非的答案

③S=1+2+3+4+5+6+7......
S-S2=1+2+3+4+5+6+7......
-(1- 2+3- 4+5- 6+7......)
= 4+ 8+ 12+......
= 4( 1+ 2+ 3+ 4+5+6+7......)
= 4S
所以有S-S2=4S
即是S-1/4=4S
S=-1/12

這是視頻裡面的第三步。
S-S2 = 4 + 8 + 12 + ....
但是這裡其實忽略一堆很重要的「0」
大家來看看正確的寫法：

S - S2 = 1+2+3+4+5....-(1-2+3-4....)
= 0 + 4 + 0 + 8 + 0 + 12 + 0 + 16...

那麼，其實在這個數列裡面，是有一半的 0 和一半的偶數。就是說，無窮多個自然數相加的S，在S-S2中，有「一半」無窮多個偶數（4，8，12，16...）和「一半」無窮多個0，那麼，就不可以說，等式的右面，是4XS2了，因為他的數量應該是一半。（？）

如果按照是一半的邏輯來計算：
S-S2=1/2 * 4S = 2S
所以 S = -S2
所以S=-1/4

這樣就是自然數的和等於所有奇數減去所有偶數=-1/4?

如果上述關於一半的說法不對，這些「0」為什麼能在等式中消失呢？

提出質疑等噴~~

有明確證明方法可得出自然數立方和是自然數和的平方。

人類在自然科學的研究上的時候總是會有各種各樣的理論分支，到底哪個理論分支是正確的其實得取決於是不是符合現實實驗，或者廣義地說，符合物理學的結論。就算在數學領域中也沒有理論上的絕對正確（通過不斷學習我們現在知道了很多地方會有這樣的表述，如：在柯西準則意義下...）我認為這些不同的意義如果非要分出高低正誤那麼只能看誰更符合事實。已經有很多答主提到的超弦理論和量子力學，它們需要自然數的和為負數，那麼我認為就應該至少同意這種觀點，除非對量子力學和超弦理論本身不認同。