導體中的電磁波的穿透深度和透射係數與電磁波頻率的關係 ？
最近學到了電動力學中的電磁波部分，老師講了一下導體中的電磁波穿透深度和透射係數。得出了一下結論：頻率越大，穿透深度越小，而反射係數越小（透射得越多）。各位能不能幫忙解釋一下這個結果的物理含義呢？
具體請看「物質的顏色和極化散射 」。版權為作者所有。
Color of Matter, "Polarized" Scattering, story in a nutshell
提示：本文的主要探討如何從微觀的極化現象解釋光和物質的反射／折射／吸收行為。就作者所知還沒有教材以角度為重點，定性而且一般地給出結論。所以本文的計算實際上也是作為對此一般理解的一次驗證。
電磁波與電極化
電磁場與介質的作用，在低能標和一般尺度下（也就是不考慮核聚變，質子衰變等），實質上是電磁場和組成介質分子（原子）電荷、磁矩的相互作用。倘若物質是非磁的（也即物質內部不存在可觀的磁偶極子和外加磁場相作用），電磁－介質相互作就完全可以用電和電荷的相互作用來表示。這種相互作用的內在機制又叫做電極化。
電極化，顧名思義，就是電荷在電場作用下產生的位置的變化。電極化一個最通俗易懂的例子是一個中性不帶電的金屬球：
因為不帶電，金屬球對周圍電場沒有任何貢獻。現考慮外加恆定電場E：金屬球內的電子會在電場作用下「極化」。極化後，電荷分布產生響應電場（Response Field）。這個電場和原電場疊加，形成最終的，電場和金屬球相互作用後的成場（Resultant Field）。這個響應電場的目的是使得金屬球內部最終電場為0，所謂屏蔽。
當金屬球很大時，響應電場的表徵會十分複雜。但當金屬球直徑相對空間（波長）尺度較小時，我們總能找到一個近似的解。這個解可以展開為體系內每一個電荷及其絕對位置乘積的和。如果是（等量）正，負電荷對，得到的結果就是電荷值乘以電荷對之間的距離。換言之，它就是物理上的「電偶極子」，這種近似辦法，就叫偶極子近似。
具體來說，一個電荷任意分布有限區域對周圍電場的貢獻可以看作：
其中第一項為單極項，對於整體不帶電的物體，此項為0。第二項為偶極項。
由此，電偶極子的表述為：其中rou為區域內的電荷密度。
注意到上面金屬球的例子中，球中自由電子和帶正電（不動）的原子核就極化為一個偶極子，最後的成場，就是原靜電場和偶極子響應電場的疊加。因為電場的波長為無窮大，這個解是嚴格的（3）：
（3，當然，這個物理偶極子本身受到幾何結構的限制，是個宏觀的散射問題。其結果本身依賴金屬本身的微觀電介常數，從這個角度來說，這個例子並不太妥當，但偶極子的觀點是正確的。微觀尺度的模型將由下文介紹）。
知道偶極子的響應，從理論上來說，就能求解所有線性的電磁場和物質作用問題（4）。就結果而言，波動的描述和電子－光子的描述應當是一致的。
（4，雖然這聽起來不大可能，但如果我們把極化的概念拓展到電子云，偶極子，離子晶格和自由電子氣中去，電磁場和物質的相互作用就能被完全包括在響應電場中去）
輻射場電極化的微觀模型
介質在輻射場中的極化機制多種多樣，從電子躍遷，電子云極化（價帶電子的stark效應）到自由電子氣震蕩，從極性分子轉動，離子晶格光聲子耦合到介觀空間電荷區等，不一而足。此外，電子之間的相互作用，例如庫倫力和交換能也對極化產生作用，最後，固體中的激發子，拉曼散射等非線性效應也直接影響到材料對光的極化響應。
多少令人驚奇的是，在線性理論下，有一種叫做「諧振子」模型能抓住上述各種極化過程在諧振附近的強度和相位的物理本質。正因為此，只要我們掌握了這個模型，我們就能將其結論推廣到各種機制的具體效應上去，通過對極化後響應場的分析，對物質在不同頻率光下的行為，作出定性和定量的預言與解釋。
考慮一個在原子核附近平衡位置做束縛簡諧震動（4）的電子，其運動方程如下：（4，這個簡諧條件蘊涵1階近似。其中速度比例項表示阻尼）
對其做平面波分解，對每一個頻率：根據定義，電子和原位置正電荷之間的位移產生一個物理偶極子，其大小就是電荷乘以該位移。對各向同性的材料而言，單位體積內：由此，我們就求得了一個偶極子在外加電場作用下產生的極化。
我們來仔細分析這個等式。
定義偶極子強度和外加電場的比值為「極化率「chi：其中：（12）式蘊涵震蕩項（resonance term）和非震蕩項（non-resonance term）。不難發現，當頻率omega取正值時候，第一項發散；當頻率為負值時，第二項發散。第一項是我們問題的震蕩項，規定入射光對材料的共振條件。第二項僅僅是第一項的時間反演（也就是，可以看作材料對外加電磁場響應的因果倒置的逆過程：材料對外界自主發光）。
反演項僅代表了時間對稱性（5）。因為我們僅考慮正向過程，忽略掉後一項。（12）因而簡化成：（5, 這一正過程的選定最初就體現在將電場的含時指數項寫成正頻率傳播（e^－i omega t）；不同的選取將導致因果性倒置）折射與吸收
由上可知，諧振模型中，材料對外加電場的極化響應存在實部和虛部。其中，實部代表貢獻displacement current，與原電場疊加，產生折射場；虛部貢獻實電流，和原電場作用，產生吸收損耗。
虛部，代表偶極子的響應電場和原電場有pi/2的相位差，當我們把響應電場對時間一階求導後，由簡諧震動，所得」電流「（見式（1），又或，因極化本身就是電荷位置的移動，對其求導之後能得到電流）又產生－pi/2的相位，這樣就和原電場同相位。由焦耳heating我們知道：
因此虛部貢獻電流對原電場的熱吸收。
同理，實部所產生的」電流「由於和原電場有－pi/2的相位差，一個周期內的時間平均值為0。因此其不貢獻焦耳吸收。相反，他貢獻」光子「電流，粗略地說，和在界面以內和原電場疊加形成折射波，在界面以外形成反射波。
進一步對實部和虛部作圖:（實部圖）
上圖可見，實部在諧振頻率處變號；當外加電場頻率小於諧振頻率時，諧振子能與電場同相振動；當外加電場頻率大於諧振頻率時，電荷運動無法和電場保持一致，穩態響應為負數，也就是存在pi的相差（諧振子依靠和電場反向運動獲得額外的勢能）。此外，電場為dc時，可以想見諧振子將停留在受力平衡的位置，其偶極強度為和回復力以相關的定值。當頻率為無窮大時候，諧振在一個周期內根本來不及反應，因此其響應收斂於0。（虛部圖）
當外加電場頻率接近諧振頻率時，電場能量由電流損耗，振子的振幅開始下降直到為0，這由下面的分析不難看出。
虛部震蕩隨著頻率的變化較為簡單。上圖明顯確定一個共振峰。在此峰附近電場能量以焦耳熱的形式被電流吸收，對輻射場不貢獻。實際上，當模型中摩擦因數gamma趨近於0時，這個lorentian 峰將簡化為位於諧振點的一個dirac 衝擊函數。為了保證因果性，gamma 不能嚴格為0，這和函數極點在複平面的位置有關。
反射
我們理解，在電磁波的理論中，根據極化率chi， 我們能求出極化密度P，進而得到介質中的電介係數。粗略地說，就是把上述偶極子的電場貢獻加入到原電場中，得到介質電場D。再藉由公式（3）和電磁場邊界條件，我們就能得到電磁場在介質表面折射，反射的嚴格解了。通過聯合能量守恆，我們能進一步求得焦耳heating所吸收的能量。
然而我們不需要如此繁瑣，就能從極化率中得到吸收能量的定性計算；同樣，不需要解具體的maxwell方程組，我們也能得到關於折射和反射，特別是反射的重要信息。
考慮材料對外加電場的極化響應處於上繪實部圖中的負值部分，也就是頻率略大於共振點。此時，介質中原有電場和響應電場相疊加，產生相消干涉（Destructive Interference），相應地電場能量降低；在干涉問題中，能量是守恆的，無非是能量從一處轉移到另一處去了。在反射/折射問題中，能量是從折射場，轉移到沒有干涉的反射場中去了。因此，我們有結論：
1,當極化率是負實數時，材料對這一頻率的電磁波增強反射。
同理：
2,當極化率是正實數時，材料對這一頻率的電磁波增強透射。
此外，綜合上述分析，我們還有：
3,當極化率是虛數時，材料對這一頻率的電磁波增強吸收。
實際上，這些結論都與邊界條件：和菲涅耳公式一致（6）。
（6，注意到極化場僅僅改變電場而沒有相應改變磁場；因此嚴格地說，（3）式所得波動解並非不是簡單的原電場和同相或者pi 相差波的線性疊加，因為它們並不是同一個方程的解。實際上，一個偶極子的振動所產生的電場並非完全是輻射場，但如果我們把所有偶極子的電場振動都疊加起來，非輻射場的部分會抵消。）
一般金屬的顏色
對於金屬而言，其豐富的導帶電子可近似認為自由電子氣，簡諧振蕩模型在這裡是適用的。由於不存在回復力，諧振點移動到dc（0頻率）。由圖，所有正頻率都位於諧振點右側，因此極化率都是負實數，頻率越靠近低頻，負值越大，反射越強，直到完全反射（飽和）。當然，當頻率再增大，負實數的值非常小，和原電場比起來微不足道，光開始折射，反射光減弱。因此結合性質1，我們斷定：
在某個頻率以下，金屬反射所有的光。
對於一般金屬而言，這個頻率處於深紫外（200－300nm）的位置。因此我們大部分金屬表面呈白色，反射所有可見光。
惰性金屬的顏色：銅，金，銀
上面的結論具有一般性，但為什麼有些金屬的顏色並不是白色，而是偏紅色（如銅）或者黃色（如金）呢？
實際上這和這些金屬導帶電子所具有的獨特結構有關。在某些惰性金屬中，被填滿的3d帶電子可以躍遷到半滿的4s帶中，所需的能量恰好處於可見光頻附近。具體的說：在原來的極化率函數的右側，又添加了因direct-band transistion引入的新的諧振中心。我們知道，諧振子模型能很好的處理各種極化機制，能帶躍遷就是最重要的一個。在這裡，諧振中心對應的光子能量就是躍遷所需的能量。
於是，根據上述理論，在可見光頻段內，原本幾乎均勻反射的各色光現在由於引入了新的諧振中心而產生了差異。在諧振中心靠右的位置，光的反射由於一個極負的極化率而被增強了。對於金和銅而言，他們3d-4s躍遷的中心恰好位於黃色和紅色附近（2.3eV 和 2.1eV)，而對於銀，其躍遷中心遠在近紫外（4eV），因此無外乎雖然同為惰性金屬，銀還是保持了他光彩動人的純白色，而金子和銅則變異成黃色和紅色。實驗表明，金對綠光有強吸收（諧振中心），對藍，紫光卻有較好的透射，這與論斷2,3完全一致。
下面我們引用實際的金的數據作為這一論斷的證明：
http://www.mathworks.co.kr/matlabcentral/fileexchange/25848-permittivity-of-gold-at-optical-wavelength-brendel-bormann
一個典型的fresnel 反射計算如上。與我們分析的結果完全吻合。
絕緣體的顏色：石英
對於一般絕緣體而言，能帶間隙足夠大，以至於上述電子躍遷只發生在深紫外區域；由（離子鍵）光學聲子，極性分子（轉動）振動引起的諧振中心頻率過低，往往位於紅外甚至微波區域，無法由人眼探測。以石英（二氧化硅）未例，其為共價鍵分子，唯一的諧振中心位於紫外，因此由我們的論斷不難得出，在可見光範圍內，石英既沒有吸收，也沒有反射，而是大量透射。因此，作為玻璃的原材料，我們有」窗明几淨「的成語。此外石英因為較大的正實數極化率，其refractive index高於1，石英作為可見波段和紅外長波波導材料被廣泛使用。
（石英極化率實部示意圖）
（一般電介質極化率示意圖（利用極化率和介電係數關係式））
＊ 小思考，能不能把石英作為紫外光的波導呢？
＊＊ 對於非線性光學，需要考慮除偶極子之外的，高階quadropole等，等價於考慮高階的極化率張量。
問題中提到了穿透深度，即你考慮的是平面波在有耗媒質分界面的反射、透射的簡單情況。一般來說，損耗來源有兩個，介電、磁阻尼損耗，和電導率損耗，採用復介電常數分析，總有效電導率為
所以，下面不妨用先用良導體來分析這個問題。
- 電磁波反射的根本原因是波阻抗的變化，即沒發生反射並不代表媒質相同，僅代表兩種媒質的波阻抗相同。頻率越高，良導體的波阻抗越相對地接近空氣波阻抗，故反射係數越小，透射越多。
- 至於頻率越高，透射越多，穿透深度反而越小，這不矛盾。頻率越高，波在良導體中的衰減越快，只是衰減的程度遠超透射能量的增幅而已。
- 對於電介質，將有效電導率代入到趨膚深度公式，發現，隨頻率升高，穿透深度變小地程度甚於良導體，即介電材料損耗的增大程度甚於良導體。
此結論只適用於平面波在媒質分界面的反射、透射的簡單情況，反射只有一次。即目前學的只是一個基礎。
對於複雜的邊界條件不一定適用，譬如矩形波導，內部充滿介質，電磁波在波導內的介質中傳播，並來回地在波導金屬壁上反射曲折前進。即平面波在媒質分界面的多次反射、透射情況。可以說，波的主體一直在波導介質中傳輸，隨頻率的升高，介質損耗增大；而在相同的傳輸距離中，隨頻率的升高，波與波導壁反射的次數減少了，進入導體的能量變少，故導體損耗減小。- 主模為TE10的矩形波導，相當於一個高通濾波器，頻率越高，波導壁的導體衰減反而越小了。下面我們解釋這個。
- 我們知道電磁波是橫波，即場矢量垂直於傳播方向。電磁波在空心波導這種邊界條件中傳輸時，為了滿足Maxwell『s Eq，不得不在空心波導中曲折傳輸前進（像彈球一樣，在波導中來回彈跳前進），宏觀上疊加起來就體現為TE、TM、或二者混合的傳輸模式。這就是所謂的空心波導不能傳輸TEM模，實質上電磁波始終是橫波，只是由於邊界條件的限制，宏觀上疊加為TE、TM模罷了。當頻率較低時，電磁波為滿足邊界條件，「彈跳」的角度逐漸趨於垂直於波導壁；即頻率越低，電磁波在波導中前進同樣距離的彈跳次數越多，即來回反射的次數越多，射向波導壁的入射角越小，進入導體的能量越多。低於截止頻率時，電磁波只原地上下反射，不前進，所有能量都會進入導體、耗散在介質中。
- 圓波導TE10模，導體衰減隨頻率升高先減小，後增大。同樣也是，為在圓波導邊界條件下滿足Maxwell『s Eq，頻率越高，橫向電流越小，縱向電流越大，此二者導致導體衰減先減小，隨後又增大。
波在波導中傳輸，介質損耗隨頻率升高而增大，導體損耗隨頻率變化的關係依據邊界條件和傳輸模式而定。
參考文獻：
[1] 梁昌洪. 簡明微波. 北京：高等教育出版社, 2006.
[2] D.M.Pozar, Microwave Engineering. 4th ed. John Wiley Sons, Inc. ,New York , 2012.
題主沒有要求很深入的回答的話，我可以簡單說明一下。
正如上面答案所說，這就是趨膚效應。
首先界定前提：這個現象應該是發生在良導體中。而良導體的定義是：
此時，傳導電流起主要作用，而位移電流可以忽略不計。
在這個前提下，可以推出電磁波衰減因子的表達式，
從這個式子可以清楚的看出：在良導體中，電磁波的衰減因子隨著波的頻率、媒質的磁導率和
電導率增加而增加。對於高頻電磁波，，衰減常數是很大的。因此，在良導體中，電磁波會傳播很短一段距離之後就衰減完了，So，良導體中的電磁波局限於導體表面附近的區域，這就是趨膚效應。
舉個栗子：海水屬於良導體，電磁波衰減很快，對於潛艇，通信就會很麻煩，所以要保持信號的低衰減，工作頻率必須很低。
這個解釋應該是比較清楚了.
這就是電磁理論中所說的趨膚效應，其效應可以用趨膚深度（skin depth）來表示，趨膚深度和頻率開二次方根成反比。
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