鬥地主，出現王炸的概率是多少？

11-16

謝邀。

做數學題時，我們不僅僅要追求正確的答案，更要追求巧妙的方法，這才是數學的趣味所在。
王希的答案是正確的，但是計算過程過於複雜，不是太好。

這其實是一道可以口算的概率題。

簡單的解法：

一共 54 張牌，其中地主 20 張，兩個農民各 17 張。
將牌重新組合，將 54 張牌一次排成一列，分成三堆，前 20 張給地主，中間 17 張給第一個農民，最後 17 張給第二個農民。

問題關鍵：僅考慮大小王的位置，而不考慮其它所有牌。

所有情況： $A_{54}^{2} =54 imes 53$
王炸在地主手裡： $A_{20}^{2} =20 imes 19$
王炸在農民手裡： $2A_{17}^{2} =2 imes 17 imes 16$

所求概率：
$P=frac{A_{20}^{2}+ 2A_{17}^{2} }{A_{54}^{2} }=frac{20 imes 19+2 imes17 imes 16 }{54 imes 53}=frac{154}{477}approx 0.3229$

很多知友都算出了32.29%, 但我們實際玩起來感覺概率比這個大, 幾乎玩兩三把就能出現一次, 這是為什麼呢? 讓我們根據鬥地主玩法的實際情況增加一些複雜度:
1. 假設前面51張牌是隨機分.
2. 在叫地主階段, 假設沒有王的人叫地主的概率是p. (在低端局中p比較接近0, 相比之下中端局和高手局中p值會更大, 不過無所謂我們最後結果會帶著p).

OK, 計算開始:
1. 計算前面51張牌中兩個王已經被分配出去的概率(即王不在底牌): 概率=C(2,51) / C(2,54)=0.891
2. 計算前面51張牌中只有一個王被分配出去的概率: 概率=(51*3)*2/(54*53)=0.107
3. 計算兩個王都在底牌的概率: 概率=C(2,3) / C(2, 54)=0.002
1". 在兩個王在前51張的情況下, 計算兩王在同一人手中的概率: 概率=16/50=0.32
2". 如果有一個王在底牌, 那麼按照前面的假設2, 出現王炸的概率為: (1-p)
3". 假設兩個王都在底牌, 那麼如果不考慮全放棄重新發牌, 那麼出現王炸的可能性為1.

那麼根據條件概率, 出現王炸的可能性為: 0.891*0.32 + 0.107*(1-p) + 0.002 = 0.394 - 0.107p
結論就是:
當叫不叫地主是隨機選擇跟手牌無關時，即p=2/3時，出現王炸的概率就是32.3%，符合32.29%的答案。
即低端局中, 如果玩家沒有王就不敢叫地主, p=0, 出現王炸為39.4%.
符合經驗直覺。

感謝邀請。@stanley 的答案是正確的，但模型有誤。

一副牌54張，鬥地主時並不是每個人拿18張，而是兩個人拿17張一個人拿20張，每種分配方式的概率是相同的，一共有 $C_{54}^{20} C_{34}^{17} C_{17}^{17}$ 種。

如果王炸在地主（拿20張牌者）手上，共有 $C_{2}^{2} C_{52}^{18} C_{34}^{17} C_{17}^{17}$ 種情況，即先把王炸給地主，再給地主補足牌，最後分配農民的牌；

如果王炸在農民（拿17張牌者）手上，共有 $2C_{2}^{2} C_{52}^{15} C_{37}^{20} C_{17}^{17}$ 種情況，即先把王炸給農民，再給他補足手牌，然後給地主分牌，最後給第二個農民分牌。由於兩個農民是對稱的，因此乘2.

按照這個模型，所求概率即為兩種符合條件概率相加除以總方法數，結果約為154/477，約等於32.28%。

樓主沒有描述地主是如何確定的，大家的回答大多是是按照隨機選取地主得到的結果，如果考慮到joker在底牌的情況，搶地主導致王炸出現的概率可能比隨機發牌選地主略高一些。這會受到玩家整體行為的影響。

54張的牌堆&>&>3張（地主和農民的牌差）；且54張的牌堆&>&>1張（大王的佔位）；
所以牌桌上直接估算為1/3就好了......

同理，升級（80分、拖拉機）里有人有一對黑桃2的概率約等於四分之一.....

我覺得一定會有朋友和我一樣對鬥地主不把補的三張牌分開計算不舒服，我試著也算了一下，作為其他答案的補充。
一副牌54張，每人17張，地主多補3張。
1：王炸出現在多補的三張中，概率為52/（54*53*52）。
2：一張王在地主的17張牌中，一張王在多補三張中，概率為（52*51*6）/（54*53*52）*1/3。
3：王炸出現在其中一人的17張牌中，概率為（52*51*50）/（54*53*52）*（16/50）。

總的概率：（1+51*6/3+51*16）/（54*53）=924/2862約為0.32285

三個玩家（不妨設為張三、李四、小明）拿到兩張王的概率, 滿足：

$egin{eqnarray} P( ext{有王炸}) = frac{ ext{#{張三有王炸}} + ext{#{李四有王炸}} + ext{#{小明有王炸}}}{ ext{#{三人手中所有可能出現的牌面}}} \ = frac{(C_{2}^{2}C_{54-2}^{18-2})C_{36}^{18}C_{18}^{18} + C_{54-2}^{18}(C_{2}^{2}C_{36-2}^{18-2})C_{18}^{18} + C_{54-2}^{18}C_{36-2}^{18}(C_{2}^{2}C_{18-2}^{18-2})}{C_{54}^{18}C_{36}^{18}C_{18}^{18}} \ = 0.3207547. end{eqnarray}$

這個題，真正的口算應該忽略地主比農民多3張牌這一差異，直接轉化為將大小兩個王分配給ABC三個人的情形，大王可能在3個人的任一個人手裡，小王也可能在3個人的任一個人手裡，總共有3x3=9種情況，其中大小王同時在A手裡、同時在B手裡、同時在C手裡各1種，共3種情況，於是出現王炸的概率約為1/3。

打橋牌、玩德州撲克，頂級高手們肯定是把概率表背到爛熟的。但是對於普通的數學愛好者而言，採用忽略微小差異的方法，迅速心算出概率，並永遠按照獲勝概率高的方法出牌，久賭必勝。

我們都知道一副牌有54張，三人鬥地主時，沒人17張，3張做底牌。此題不考慮有人摸到大小王但不出王炸的情況。並三個玩家每個人當地主的概率相等。

大小王都在底牌的概率是 $P(A)=frac{C_{2}^{2} *C_{52}^{1} }{C_{54}^{3} }=0.0021$ 。
大小王只有一張在底牌的概率是 $P(B)=frac{C_{2}^{1}*C_{52}^{2} }{C_{54}^{3} } =0.1069$ 。
大小王都不在底牌的概率是 $P(C)=frac{C_{52}^{3} }{C_{54}^{3} } =0.8910$ 。

出現王炸有三種情況：

第一種，大小王都在底牌，誰當地主誰手上就會有王炸。這時王炸出現的概率 $P1=P(A)=0.0021$ 。

第二種，大小王都不在底牌，也就是看三個人誰運氣好，誰能同時摸到大小王。每個人摸到大小王的概率均等。這時王炸出現的概率 $P2=P(C)*frac{1}{3} *frac{1}{3} *3=0.2970$ 。

第三種，大小王只有一張在底牌，看誰能摸到，並且摸到的人必須是地主。這時王炸出現的概率 $P=P(B)*frac{1}{3} *frac{1}{3} *3=0.0356$ 。

所以，出現王炸的概率為 $P=P1+P2+P3=0.3347$ 。

如果是線下打真實的鬥地主撲克，你可以通過概率算出地主及農民，手中有炸彈的幾率分別會是多少！但是基本上會很低。

我數學學的不好，但是貌似有個兄弟已經算出來這個概率了。你會發現，這個概率看似還不錯，但是實際上打過幾局之後，拿到炸彈的次數並不高。

這就是為什麼有很多人喜歡到手機遊戲上去打鬥地主。現在基本上手機遊戲裡面的鬥地主都會有癩子打法。這種打法，大大提高了鬥地主抓取炸彈的幾率，可以稱之為顛覆。

不過據我說知，即便是這樣，對於鬥地主發源地湖北人來說，癩子打法依然很無聊。據說當地都已經玩4副撲克6人鬥地主了，有2個地主和4個農民。對湖北當地人來說，我們平時玩的鬥地主基本就是小兒科級別的，層級非常低。屬於當地人不愛玩的那種~~有機會真的想找個湖北朋友一起研究研究，感覺的這玩法的發源地，已經把鬥地主的玩法變化晚上天了~

現在，有都很多專業的鬥地主手機遊戲，為了提高鬥地主的趣味性，通過科學手段，在發牌的過程中提高炸彈的出現率，滿足哪些喜歡在鬥地主中尋求刺激爽快的人。如，途游鬥地主（也稱單機鬥地主-途游版）。

途游鬥地主炸彈確實是多，不管我是玩癩子還是玩經典場，感受都比較明顯，確實抓住了玩家喜歡抓炸的心理。但是在比賽場內，由於涉及需要公平競技，所以發牌的時候獲得炸的幾率貌似又是正常的概率（個人覺得）。

至於王炸，我覺得，首先看你敢不敢叫地主了。在底牌沒有掀開之前，你獲得的王炸概率，和底牌搶到之後獲得王炸的概率截然不同。就像我一開始說的，我數學學的不好。所以，親如果真的想通過概率，去判斷是否叫地主什麼的還是算了吧！因為這本身就是一個既要靠實力，又要靠運氣的遊戲。算概率這種事情，留給打牌的過程中去吧~猜底牌有沒有王炸這種事情，不適合你~

是時候放出我的圖了

無話可說

比0.33略小一點，大概是0.31，0.32的樣子

安徽綜藝台有個鬥地主的節目，我一晚上八局，我追了也將近一個多月，一共看到3次，你們算錯了？這節目出老千？

假設地主隨機（就是分牌時直接20 17 17這麼分。。。
那麼直接考慮
地主20張牌 A2 20
農民17 （A2 17）*2
所有情況 A2 54
p=32.29%

實際情況上偏高一些。。。因為地主有一王叫地主可能性更高

是這樣沒問題吧?

2張王，3個玩家，，不是1/3幾率拿到第一張王，1/3幾率拿到第二張王，，兩個相乘應該是1/9幾率才對啊

考慮實際情況，翻開底牌後。當你手裡僅有一張王時，王炸概率為0。當你手裡沒王時，王炸概率約為1/2。當你手裡有兩張王時，王炸概率就是100%！

{[（C54選3）-52]/C54選3}×1/3
解釋：地主三張牌的所有可能性是C54選3，其有雙王加任意一張牌的情況有52種，[（C54選3）-52]/C54選3得出雙王不在地主牌的概率再乘上雙王出現在任意1家的概率是1/3

只是簡單把2張大小王分配給三個人,概率就是3/3*3 = 1/3.
但實際上地主和農民的拿到大小王的概率不一樣, 拿20張牌的地主拿到大小王的概率要大,(牌越多,概率越大)

就經驗而言,贏牌多勝率高的玩家也都更積極的去搶地主,老是當農民能有出路嗎?

為方便理解，首先將一副牌按1~54編號，假設地主先拿（其實誰先都一樣）
拿牌情況如下：
地主農民農民
1 2 3
4 5 6
……
49 50 51
52
53
54

地主20張牌，出現王炸概率是：
P1=（20/54）*（19/53）
兩個農民各17張，出現王炸概率是：
P2=（17/54）*（16/53）*2

所以王炸概率
P=P1+P2=924/2862=0.32285