為什麼 空間二階導（拉普拉斯運算元）這麼重要？
《數理方程》課上講的三類基本方程，方程的一邊都是拉普拉斯算符，另一邊分別是時間二階導、一階導和0，為什麼空間二階導這麼重要？它有什麼樣的數學和物理意義？
位形空間下的拉普拉斯運算元就是動量空間中的動量模平方，
而大多數能量又都具有動量模平方的形式，
自然拉普拉斯運算元的就能擁有如此的重要性與普遍性。
本來不覺得這個問題提的好，但是看到這樣一個答案：
最淺層的答案是，拉普拉斯運算元是Coordinate-free的。
我覺得有必要更深刻地解答一下。
坐標無關的運算元，或者叫內蘊運算元，在黎曼幾何里由特徵值衍生的，是很多的。這不足以解釋為什麼Laplacian運算元為何重要。或者說這個答案指示了一種性質，但是這個性質也不是刻畫性質（Characterizing Property），因此我覺得這個答案並沒有答到點子上。
另外一個看似合理的答案：
我不熟悉 Laplacian 的分析和幾何方面的意義. 但是從表示論的角度看重要的對象應該是 Casimir elements, 後者與 Laplacians 有自然的類比關係.
這個也許是一個可能的解釋，但是同樣不很正確。
簡短的這句話，「從表示論的角度看重要的對象應該是 Casimir elements, 後者與 Laplacians 有自然的類比關係.」我來斷一下句，作者的原意應該是Laplacian可以看作是Lie代數上的Casmir元，這在sl^{n}(mathbb{C})中很顯然，但是在更加一般的場合，甚至說gl^{n}(mathbb{C})就並不顯然。而且Casmir元如果我沒記錯的話主要是用來證對應表示的完全可約性的(complete reducibility,usage by Harris Wallach)，它在gl中，可給定坐標計算，如果它還有更深刻的與Laplacian的聯繫或者我的理解有不足的地方，請指教。
而Hodge-Laplace運算元在給定R^n的典型坐標下可以計算出這確實是傳統上定義在Riem流形上的trace(D^2)。然後我們把
給定實緊定向Riem流形M，
（實調和p形式）同構於（上同調向量空間）
這就直接告訴我們研究上同調，研究調和形式就足夠了。為什麼這個結果這樣漂亮？因為PDE理論可以告訴我們一些調和（運算元）方程的優良性質，這是一般的微分方程所不具備的。最簡單的就是調和方程的特徵函數解法，這直接關係到第一特徵值的估計。
上面所說的在於實的狀況，但是Hodge理論本身重要性在於研究複流形，就不多講了。
假如讀者有進一步的興趣，Stein的Harmonic Analysis是一本百科全書，所知道的一定比我更全面。
=====
Hu：我敦促L來寫這個答案，很大程度上是因為現在我們似乎需要一些稍微serious的問題，和一些稍微serious的答案。
Zhu：問問題可以local一些，However you should have a global view，觀點有趣也是可以的。
revised by L JiangD Hu Zhu
很多物理量在時空中是守恆的，例如質量、能量和動量，這些物理量在實際過程中應用得非常廣泛，比如流體力學、傳熱學、傳質學、電磁場等等，在控制體中描述這些物理量流入和流出的方法最方便的就是散度了，求散度的方法就是對這個物理量使用拉普拉斯運算元，拉普拉斯運算元就是對空間求二階導啦
好像很多物理現象最後的數學描述都是拉普拉斯方程或者雙調和方程。作為力學生，我只說說在力學裡面的一些東西：流體力學中速度勢和流勢都滿足拉普拉斯方程；彈性力學中平面問題的艾里應力函數滿足的是雙調和方程……除了很多物理現象的數學描述的最後形式是拉普拉斯方程外，在拉普拉斯方程出現的初期，數學家們由這個方程推出了很多重要的函數：貝塞爾函數，勒讓德函數等等。反正在我看來吧，拉普拉斯方程真挺重要的。
常見的current都正比於空間一階導數，在各項同性空間中密度守恆方程就是時間一階導數加上current的散度也就是Laplacian。
最淺層的答案是，拉普拉斯運算元是Coordinate-free的。
===================
確切地說，拉普拉斯運算元是階數最低的，從scalar function 到scalar function 的 Coordinate-free的 平移不變的不平庸的運算元， up to a factor。
物理研究的對象要求具有平移和旋轉的對稱性，拉普拉斯運算元就是滿足這兩條的階數最低的運算元。
梯度的散度。
拉普拉斯運算元是一個最簡單的具有物理意義的SO(n)不變運算元；而在給定變換下泛函Lagrange作用量要保持不變是物理規律的基本要求。所以Laplace運算元可以作為Lagrange作用量的密度函數
最近看了《實用偏微分方程》，才看了前幾節，發覺裡面偏微分相似部分都會歸納在一起講，比如一開始講的是熱傳導模型，書本細分了一維熱傳導，二維熱傳導，三維熱傳導，但是不論幾維，都可以用一個簡單的式子a表示：
累積量＝進系統量-出系統量＋系統自身變化量
＝通量變化量＋系統自身變化量——————a式
這個式子要用積分的思想去替換，相應的，我們就列出了一個積分方程，既然是方程，下一步當然就是求解其中的未知數。
不幸的是，表面上這個方程看似無解，因為這個方程涉及的元素太多了：累積量，通量變化量，系統自身變化量。
但是十分幸運的事情是，我們假設了一個能量變化的函數（這是一個關於時間與空間的函數）。這個函數有什麼用呢？它可以用來表示累積量，它居然還可以用來表示通量的變化量！這就相當於我們用更基本的函數替代了兩個複雜未知數，相當於是消元了！我們只要把這個假設的函數求解出來就萬事大吉了。反過來看，兩個看上去複雜的沒有直接關係的未知量，居然可以用同一個函數表示出來，這不是很神奇嗎？！這即是表明，只要我列一個等式，一定可以找到更基本的元素來消元，然後求解這個更基本的元素。
在明確了這個被積函數是時間與空間的函數，同時明確了累積量、通量變化量均可以用同一個函數表示，我們信心滿滿的把a式進行了整理，結果一看，艾瑪，嚇我一大跳，式子b咋那麼湊巧呢，咋那麼眼熟呢：
函數對時間的一階導＝函數對空間的二階導＋系統自身變化量——————b式
到此為止，我們可以通俗的假設，一個關於時間、空間的函數——可以理解為一條能量傳輸線，不停的在波動（不管它是不是常規意義上類似於正弦那種波動，只要它在不停波動，那麼就表明它是一個關於時間和空間的函數，兩種特例是：①該函數僅僅是空間的函數，與時間無關;②該函數僅僅是時間的函數，與空間無關。但是不論是哪種特例，它必被包涵於時間空間函數這個大集合中）。這函數有什麼特別呢？並沒有什麼特別的，然而通過這個函數我們可以導出系統累積量的表達式，也可以導出通量變化量的表達式，更進一步呢？這兩個「高級」一點的，已經被封裝過的表達式有什麼聯繫嗎？答案是有，為了滿足那個牛逼哄哄的守恆定律——能量不增不減，不生不滅，我們必須要滿足a式！（這尼瑪，怎麼又繞回來了呢！）
總結一下，為了滿足守恆定律，我們假設的這個關於時間、空間的函數，必然也滿足：
函數對時間一階導＝函數對空間二階導＋某一常量（或者是另一個函數的表達式，如果是另一個函數的表達式，那麼該方程就超元了，需要另一些方程進行組合求解！）實際上，可以理解為這是守恆定律的變形！——我們總能根據一個等式不斷的變形來得到另一些等式，當然這些千奇百怪的變形數學形式上是很多的，但是你要說其中的表達式是否都有明確的物理意義？那麼抱歉，受限於人類的感覺，我們僅能對其中一些等式中的表達式分別進行定義：例如，路程關於時間的一次導數定義為速度，路程關於時間的二次導數我們定義為加速度。。。如果你喜歡，我們也可以定義：路程關於時間的一次導數為孔子，路程關於時間的二次導數為牛頓，表面上，孔子、牛頓不相干，實際上，牛頓＝孔子關於時間的一階導數！你看，事情就是這麼簡單！
當然，再進一步的提問，這個關於時間與空間的函數表達式有什麼特別的地方嘛？答案是有！如果看書的話，你可以驚訝的發現，這個函數表達式居然是一系列正弦或者餘弦函數的組合！因此只要你願意，不論你給定的函數外表有多麼的怪異，我總是能以正餘弦函數給你表達出來，並且通過無限增多的項來逼近你給的函數。這段文字是不是很熟悉？沒錯，一開始研究熱量傳播問題的就是傅立葉！後續他所提出來的傅立葉變換等一系列東東都是從這裡出發的！他之所以牛逼，就是因為他把這種本質的東西給總結出來了，這相當於在紛繁複雜的2，3，4，5的世界裡，傅立葉發現了1。
對於其他類似的關於時間、空間的函數都會滿足那個微分等式，因為本質上說，這相當於能量的守恆，而能量守恆這一點，是你我都不會去質疑的。
————————————————————————看了書後面的波動方程的章節，需要增加一個說明：熱傳導模型里是能量守恆，因此等式左邊是溫度函數對時間的一階偏導。
但是到了波動這一章，等式變成了力的守恆，因此等式左邊是位移函數對時間的二階偏導，這樣等式左邊也用上了拉普拉斯運算元。而等式右邊推導出來的關於位置的微分形式不變，仍是函數對位置變數的二階偏導關係。
這三類方程是最簡單的雙曲、拋物和橢圓方程，一般來說越簡單的越容易被我們觀察到，因此出現的更多（多少有點人擇原理的感覺。。。。），比如場論（粒子）裡面基本上都是極小耦合。
--------
補充幾句，
二階方程的初始條件或者邊界條件是容易具有明確的物理意義的，零階是位置，一階是動量，一般性的物理經驗是這兩個條件確定時系統的演化是確定的。高階導數出現時需要根據具體的問題具體討論。
波動方程的物理意義是場位形擾動在空間的傳播，並且波包不會衰減。波動方程具有Lorentz協變性，因此只需要波源和接收者兩者的相對位置和運動關係即可確定物理實在。
擴散方程或者叫熱方程，後面你還會學到復的Schrodinger方程，也具有「傳播」的性質，但這時波包一定會隨時間散開。擴散方程不具有Lorentz或者Galileo協變性，因此物理實在是隨參考系的選擇而表現不同的，所以需要波源和接收者相對背景參考系一起確定。
Laplace方程描述穩態（沒有時間嘛），物理意義比如電勢能，Newton引力勢能，穩定的溫度場等等，這個可以這樣想：考慮一個布滿空間的格點，相鄰的格點由同一種輕彈簧連接，格點之間的距離是彈簧的平衡距離，現在假設格點被同種質點代替，質點可以移動，邊界條件確定了邊界上質點的位置，那麼這時整個彈簧質點系統的穩定位置，當格點間距趨向於零時，就是Laplace方程的解。所以一般來說Laplace運算元是場內部彈性勢能的響應。（敘述的太啰嗦了- -，一般好一點的教材應該會講吧）
這些物理意義從拉氏量和格林函數的角度可以直接看出來，所以學習數學物理方法這兩個話題一定要好好學！（有些老師會略講這些）
對維數的依賴。
量子化後還要考慮可重整性，系統的自恰性（反常的出現），對規範對稱性的保持，等等，一般來說這些可以剔除掉高階微分運算元。以後補充（實際上是編不下去了，誰來寫個靠譜的答案= =）
轉自物理學中的數學方法 拜倫 第一卷
並沒有什麼特別的東西。
數理方程 是將物理中的一些形式接近的方程放在一塊，一起講，免得每次上課的時候都需要講如何解這類方程。
比如說，
你在坐標表象下解薛定諤繪景的時候，哈密頓量中就有拉普拉斯運算元。。
電動力學中， B 和 E 消去一個之後就是 拉普拉斯運算元。
擴散方程振動方程 這類方程的都會帶有拉普拉斯運算元。
談談我的理解，從大處上說，不說具體例子。因為這個算符與動量算符、角動量算符、宇稱算符都對易，它本身就體現了空間上的最高對稱性（平移對稱、旋轉對稱、反演對稱） ，代表了最理想化的物理情況，正是這種最理想化的情況決定了他在數學物理上的基礎性。從群論的角度說，這個算符是就是三維物理空間整體變換群（伽利略群？）的Casmir運算元，他的所有本徵值構成三維物理空間整體變換群的表示空間。
只知道彈性力學中的用應力分量表示的相容方程正好是拉普拉斯方程......
布朗運動在函數空間上的表示就是拉普拉斯運算元，所以很多擴散現象（粒子，分子與熱傳導，病毒的擴散等等）從宏觀、唯象角度都可以用關於拉普拉斯運算元的方程逼近
其表示標量場梯度的散度
拉普拉斯運算元：勢 散度
推薦閱讀：