風險價值（VaR）是否是有史以來最蠢的衡量指標？

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芒格：風險價值(Value at Risk)是有史以來最蠢的衡量指標。

2012年伯克希爾股東大會直播

@weizhi pan 講得很好，我補充幾點，純屬一家之言。

（1）VaR 的各種優缺點早已有之，對它的批評也是老生常談。包括上面提到，再加上如sub-additivity等都已寫入各種教科書(如John Hull, Philippe Jorion...)，考試和面試都會出現的。而且每年有大量paper研究，汗牛充棟。但至今還找不到能完全替代VaR的更好的指標。就好比Libor一樣，罵的人多了，但大家還得用。

（2）VaR只是衡量風險的眾多指標之一，只是之一，當然不可能盡善盡美。其他的很多諸如Expected Shortfall (CVaR), PFE (Potential Future Exposure)，以及衡量credit/counterparty/operational risk等的一些專有指標(say, Ted spread)....在實踐中，VaR自身還有很多variation (e.g. Marginal VaR..)...這些整合起來，構成了一個risk profile。就好比，驗血的指標有很多種，你要是單獨single out其中一個，那極易偏頗(biased)，甚至有誤導性(misleading)。

（3）VaR是監管層和從業者達成的一個妥協，簡化了彙報流程，降低了監管成本，可謂上下都樂在其中。有工作經驗的人都熟悉這個場景吧，大老闆匆匆一個電話，問：「xxx, 我馬上有一個meeting, 你上午遞交的report沒空看了。這樣吧，你就概括一下，我們的風險到底有多大？..... 我不管過程，我就要你一句話，你說吧。」

（4）誠然，作為一個加總（aggregated）指標，和GDP, CPI, 平均收入，以及會計中的balance sheet類似，那它必然會掩蓋了很多重要的細節。所以，為了簡約就犧牲了granularity（譯為「顆粒度」？？）, 中間有個trade-off 在。

（5）廣義上說，金融領域（甚至經濟領域）中被批評的東西太多了，如：GDP, Solow模型, Normal Distribution, Linear Regression, Black-Scholes....都有無數的大牛斥責它們過於膚淺，過於簡單，對現實的解釋力不佳，assumption過於strong.....但，批評容易建設難，理論都是有假設的，都有局限性，高度抽象之後難免失真一些細節，想要面面俱到來滿足所有用戶的需求是不可能的。

最後，回到原題，VaR的確是一個很蠢的指標，但肯定不是「有史以來最蠢的」（已被淘汰了），目前為止，金融機構尤其是各大投行，都很需要它。

VaR主要測度的是market risk. 最大的特點是straightforward.

20年前，JP的大佬要每天下午收盤後的4:15在桌上看到一份僅僅1 page的報告，測度橫跨所有trading desk, 所有portfolio, 於未來24h的風險。沒有人會去看十幾個sheets的corr martix或者聽你講模擬參數講一個小時。而VaR就可以把所有這些用一個數，所謂「潛在損失」，來呈現market risk. 就算在今天，VaR也絕對是最最常用的測度，隔壁內控的小哥天天就是干這個的。。。畢竟還是Basel II的推薦標準。（雖然Basel 2.5和3考慮用新的引入strees event的測度了，譬如ETL。主要就是次貸以後尾部風險以血流成河的代價讓人引起了最夠的重視）

實際中，VaR經常是和ETL和其它Stress testing/scenario analysis一起看的。
VaR告訴你：可能遇到的最大損失如果沒有tail event.
ETL等等這些stressed VaR告訴你：期望承受的損失如果tail event確實發生。

至於缺點，論文太多了，個人覺得主要是：

忽略了tail event. 一個99%的VaR只是在說，有1%的可能（大概是交易半年一遇的概率），損失會比我們計算的VaR要大。然而，對於這1%裡面的事情，VaR什麼都沒有說。可以看這個GS在次貸時候的例子，來一窺1%的面積里可能有多麼的波濤洶湧！例子里提到25sigma的偏離程度，這是典型的超級黑天鵝。什麼概念呢，8個sigma是地球誕生至今的時間裡發生一次的概率。9個sigma已經是matlab能算出的極限了，25個sigma大概是所謂「1.3e+135年一遇」。
過於直接，容易引起誤導。我想說我們都明白VaR的定義，但當這個數字出現在你面前的時候，很容易造成的錯覺是「我最大可能的損失」，以至於產生幻覺的安全感。然而，這個最大可能的損失，是定義在一個嚴格小於1的置信區間上，這和100%差了十萬八千里。
效率和精確度。最最常用的三種，加權var-cov方法，簡單歷史模擬，簡單monte-carlo。只能說一般，尤其是portfolio很大很複雜很不線性的情況，計算協方差矩陣是非常痛苦的事情。對於skew和excess kurtosis的情況，如果按正態計算，會低估。同時，VaR沒有可加性（甚至沒有次可加性，是incoherent measure）。所以調整頭寸以後的計算要重頭來過，非常麻煩。同時，不同的計算方法，結果往往會有顯著的不同，這也是比較糾結的一件事情，因為你不知道哪個才是最有代表性的。

有時間再補充。

知乎的整體用戶素質已經下降到不適合進行嚴肅的學術討論了嗎？樓上的一句「內都是小孩兒玩兒的」就把 JP Morgan 的風險部門的心血直接打翻了，好心人追問原因，結果來一句「天機不可泄露」，擦！
看不下去了，作為一個研究風險的從業人士，斗膽啃一下硬骨頭。
==========吐槽結束，正文開始==========
關於 VaR 的爭議，一直都存在。
不少投資界的大腕批評過 VaR 的使用，Charlie Munger 算是他們中最著名的的一位。其他的專門撰寫長文的包括著名的 Trader 和風險研究專家 Nassim Taleb （對，就是那個寫一本叫做 Black Swan 的書的作者）和 David Einhorn （這位做投資的都知道吧）

David 在 GARP 的雜誌（就是那個發 FRM 牌子的組織的雜誌）上發了一篇長文【1】，寫他是如何看空美國銀行業的，其中對 VaR 的批評很到位（果然，好的投資者都是優秀的風控經理）：

風控經理的職責是關注那些很少發生但是影響重大的風險，而不是常規損失。VaR 在設計上，把尾部風險直接砍掉了，也就是說，VaR 能夠回答你 95% 或 99% 的情況下，你的最大能損失是 XX 百萬刀，但是不能回答你，在那1%或 5% 的情況下（裝一點的說，就是 black swan event 發生的情況下）你的最大損失是多少，在極端情況下，你的損失最小是 VaR 所統計的數，最大，不知道，也許是一個天文數字。用統計的術語說，就是讓風控經理把注意力集中在那些處在分布接近中央的可以管理的常規風險，而忽略了尾部風險。
由於VaR 不能很好的度量尾部風險，所以在那些用 VaR 去衡量風險並約束交易員的銀行裡面，交易員會有意規避這個監管指標（game the system），去投資那些風險非常低但是一風險損失巨大的投資機會（take excessive but remote risks），這也是為什麼大銀行會出現大的 trading loss 的原因之一。這裡有一個小例子，就是開一個針對拋硬幣的賭局，賠率是 1：127，賭硬幣不可能7次都出現正面。從概率上說，這個賭很安全，出現 7 次正面的概率只有1/128，約等於 0.78%。也就是說，在 99% 的情況下，這個賭是賺錢的，這個投資機會的 VaR 值是0，因為在 99% 的情況下你是贏錢的，但是你輸一次，你虧損是你平時賺的127倍，通常的金融機構都有很高的槓桿，出現一次，就會破產。
第三個重要的問題，就是 VaR 是給高管彙報和監管層看的，監管者通常不是專門的風險專家，他們沒有對 VaR 的深刻理解，容易讓高管和監管層低估風險（have a false sense of security）。在美國 SEC 經常被譏諷為 toothless 的監管機構，就是因為在大投行的監管上，SEC 一再讓步。VaR 值作為 SEC 認可的風險監管披露方式，不出意外是投行遊說的結果。按照 SEC 2004年通過的條例【2】，大投行可以選擇用自己的一套方法去管理風險，只要他們願意向 SEC 做更多披露，SEC 並不具備審查投行日益複雜的資產負債表的能力，所以，基本上就是你報一個 VaR 我就認為你沒問題了。在中國，大家都知道，報數會有水分的。在美國也一樣。

對於肥尾風險，一個非常好的註腳是：人性不能用正態分布模型解釋。在面對風險的時候，天生本性和後天教育教導我們，需要避險！一個著名的交易員法則是，不要抄底，十抄九死。（美國人也有類似說法，don"t catch a falling knife.）所以，在風險來臨的時候，大家會一窩蜂沖向出口，在市場狂熱的時候，大家會羊群一樣跟進。裝一點的話說，這叫反身性。人性決定了尾部風險高於正態分布預測的那麼低。所以，用正態分布算出來的 VaR 會低估風險。Taleb 為了肥尾風險寫了整整一本書，有空大家看看吧。Derivatives Strategy 發布了一個 Nassim Taleb 與 Philippe Jorion 的關於 VaR 的爭論【3】。我引用一下他關於 VaR 的批評，由於過於 technical，需要達人指點：

At an econometric level, the problem of VAR is whether the (properly integrated) processes we observe are (weakly) stationary. If they are weakly stationary, then ergodic theory states that we can estimate parameters with a confidence level in some proportion to the sample size. Assuming "stationarity," for higher dimensional processes like a vector of uncorrelated securities returns, and for Markov switching distributions with strong asymmetry, we may need centuries, sometimes hundreds of centuries of data. （這麼多數據基本是不可能完成的任務，即使美國也沒有那麼多數據，只能靠 bootstrapping，這個大家都知道了，誤差很大的。）

（關於 VaR ，還有一個重要的問題是 VaR shock，這個是一個 negative feedback loop，這裡先記下，有空補充）

不過呢，個人認為 VaR 存在的價值是給我們一個比較簡單的、量化的風險度量指標，儘管有諸多缺點。人有一個優點，就是可以進化，我們可以吸取2008年的教訓，在現在這個模型的基礎上改進。不過這就是在銀行工作的前輩們的任務了。

以上，歡迎拍磚。

【1】Private Profits and Socialized Risk by David Einhorn
【2】Alternative Net Capital Requirements for Broker-Dealers That Are Part of Consolidated Supervised Entities，SEC： http://www.sec.gov/rules/final/34-49830.pdf
【3】Derivatives Strategy

用一個例子說VaR吧 - 你每天上班路上要花多少時間？算上出門步行到車站，坐車或者地鐵或者自己駕車，然後下車，到達工作地。經過一段時間的實踐，你發現95%的情況下1個小時就夠了。假設你的公司要求9點上班，那麼你8點出門就差不多了。這個95%的情況下1小時，就是你上班所需時間這個不確定事件的VaR。自然，剩下的5%，你不是在路上碰到了狀況，就是塞車了，這樣你就要遲到了，這對你來說就是『風險』，有可能面臨上司批評或者扣錢的風險。某一天公司的遲到處罰政策更加嚴格了，原來挨領導批的懲罰變成了扣獎金之類的，於是你決定要把遲到的概率從5% 降低到1%：這意味著99%的時候你要9點之前到，於是VaR控又找回當時用的數據，發現99%的情況下你上班路上用的時間是1個小時15分，於是在新的要求下，你把出門的時間定為7：45。於是99%的情況下你都能按時上班，剩下的1%只能請病假了

對JP Morgan這類的大銀行來講，業務太複雜了，股票部門，債券部門，外匯交易部門，商品部門.. 估計這些業務在一起有多大風險是件不可能精確完成的任務，於是他們的人發明了VaR這個東西，其實跟上面你上班的簡單例子差不多，他們這個大VaR要分解成各個部門的VaR（等同於你上班的時間分解成從家到車站，車上的時間以及下車到公司的時間），各個部門的VaR之間呢又有某種程度上的關聯：比如美國股市漲了，國債就跌了等等。把這些因素統統考慮進來，得到了一個數字，目的就是確定95% （或者99%）的情況下虧損的風險大小，更重要的是公司的資本金抗不扛得住：如果扛不住，就要縮減業務規模，降低頭寸或者增加資本金。跟上面的例子一樣，VaR不能告訴你剩下的1%的時候會怎麼樣，於是有了壓力測試（stress test）等等手段。

老查理和老巴的意思是：反正路上要花多少時間誰也說不準，要避免遲到你越早出門越好（著名的安全墊 Margin of Safety論，來自老巴的老師Ben Graham)，於是乎老巴和老查理只在這上頭做到極致，而不去猜路上花多少時間這事了。就相當於你每天6點出門，基本上路上都是風景，遲到這事跟你無關了，心情大好。你可能這時就會去同情，教育那些每天遲到挨罰的同事，別用什麼VaR去預測時間了，像我一樣不挺好？可仍然有那麼多人還是日復一日的VaR，遲到，沒辦法，都想在床上多睡會，就跟那些銀行，想把資本金用到極致，利益最大化一個樣。他們的目標 - 發現絕好的VaR手段，這樣他們每天都能夠掐表剛好8：59趕到。你別說，還真有這樣的人，做好了真是門藝術，每天9點準時到。：）可不是還有句俗話嘛：常在河邊走，哪能不濕鞋。

你願意當老巴/老查理，還是那個每天9點準時到的人呢？

我評價一下, 正好背景足夠 (統計博士加大行定量建模分析員)

VaR本來就是個簡化模型. 其本上天下沒有這種能用一個指標來衡量多個維度複雜問題的好東東, 所以指望簡單的指標能夠衡量複雜問題的想法, 原本如果不是想法有誤也至少是個偷懶的想法.

VaR的問題, 或者廣義的說很多數學模型的問題, 出自於人們的濫用. 大多數人覺得, 我只需要一個簡單的概念. 如果說VaR是用來衡量風險, 那數值大就是風險大, 小就是風險小. 但是很少有人關心, VaR模型的基本假設是什麼, 常見的缺點有那些, 在那些情況下不太好用等等, 更不要說深入的研究一下如果假設偏離實際多少會對你的模型正確性影響多少了.

最後說兩句, 模型用的不好的就兩種人, 一種是完全不信模型, 覺得都是在鬼畫符騙大家, 這種人一般會面對複雜問題敗下陣來; 另一種是完全相信模型, 數字出來說什麼就是什麼, 這種人一般碰到模型假設和實際不符的時候, 就會抓瞎不知所措...

盡量用簡單的文字說明這個學術問題。我是來補充上邊幾個大牛的回答的。

首先風險價值英文是Value-at-Risk，縮寫一般是VaR而不是Var，後者通常指Variance也就是方差。

在VaR出現以前，風險一般是用方差衡量的（見1956年Markowitz的論文【1】）。方差雖然可以很好的表達風險資產在一段時間裡的變化的激烈程度，但並不直觀。假如我說『我的股票去年方差是400』，一般投資者很難理解這個數字的含義。假如開個方變成標準方差，加上單位，說『我的股票去年標準方差是20萬』，這意味著『我的股票去年平均漲跌20萬』，就相對好理解一些。

而很多時候，我們關心的不是平均的漲跌，而是『最大損失』，而VaR就是JP Morgan那伙人為此發明的指標，我可以說『我的股票去年99%VaR是30萬』，這意味這我的股票去年99%的損失在30萬以內。作為一般投資者，一聽就大概知道自己是否承受得了這個風險。

而VaR的不足，主要在於不具備『次可加性』（sub-additivity）和不足以表達『尾部風險』（tail loss）。

『次可加性』指的是兩個資產各自的風險相加必須大於兩個資產組合後的風險，比如說資產a風險是20萬，資產b風險是30萬，那資產a與b的投資組合的風險必須小於50萬。但VaR不具備這個性質，不但不好評價資產組合，還很難進行投資組合最優化。
『尾部風險』就是所謂的黑天鵝事件的風險，資產a和b在500天里收益最大的495天損失最大的是10萬元，那它們的VaR99%都是10萬元，但有可能在剩下5天里資產a平均損失20萬，資產b平均損失50萬。看上去風險一樣的資產，尾部風險完全不一樣。現實生活里的風險資產很多是像資產b這樣的不符合正態分布的，用基於正態分布假設的VaR來估算很容易低估風險。

VaR的問題十多年前就有討論了，論文多得數不過來，比如2000年的Conditional Value at Risk（CVaR）【2】就能比較好解決上面兩點。

VaR不是愚蠢的，畢竟VaR被發明的時候『一致風險度量』（Coherent risk measure）【3】的概念還沒有被提出來。但直到今天還受限於歷史拿VaR做主要風險度量，我認為是非常愚蠢的。

論文我就不引用了，都是wiki有寫的東西。
【1】 Modern portfolio theory
【2】 Expected shortfall
【3】 Coherent risk measure

FRM也說得很清楚了，VaR是要配搭stress test，從危機中判定回VaR沒用屬於有罪推定吧。沒有其他任何指標可以將市場風險，信貸風險，操作風險等各種風險進行量化並進行簡單匯總；同時也不可能讓這麼多銀行為了準備一個誰也預料不到的黑天鵝事件準備大量的reserve而放棄獲得正常利潤從而拉低ROA和ROE吧？

恰恰相反，是個不錯的衡量風險的工具，有其局限性，你很難同時做到簡單的衡量overall風險，又要求全面的考慮到所有的scenario，特別是損失的分布是多個參數決定時，這種衝突更明顯，只看var不對，但不代表其沒用。

阿西，上月看了在險價值(Value at Risk)風險度量下的資產組合前沿知道了VaR。
上周看了VaR倉位管理下的低風險策略準備用VaR來實盤操作。
今天來了知乎發現自己從來不懂VaR，果然小時候不好好讀書長大了就只能給別人點贊。

我來補充幾句操作風險的var值。與市場、信用風險相比，操作風險的var更加不靠譜。操作風險計量高級法中目前最成熟的是損失分布法，而損失分布法計算的var具有以下的先天不足：
一是數據，操作風險的數據主要依賴於內部的事件報送，事件報告的完整性和準確性難以保證，而操作風險事件的金額更是難以及時準確確定，外部數據要加入多少沒有標準；
二是模型，嚴重度分布模型的選擇對結果影響極大，但模型選擇缺乏嚴格的標準，使得計量出的var差異很大

var沒問題，有問題的在於認為var代表的概率模型不是多態的。之所以會有認為var蠢的想法，根本不需要什麼金融危機來佐證，a股隨便挑，即便現在中了股災，概率沒有95起碼也是90。真正的好股票，啟動找不到規律？特力a如果使用單一態，屬於不要買的。現在股價，起碼9999。但是使用多態概率模型，考慮量子激發態，大跌之後一天之內換手六成，而此時A股整體屬於大跌。完全可以認為動量大到躍遷幾個等級的程度了。var的蠢，在於交流方認為金融簡單到連現實世界的規律都不存在。

不是。也有人根據黃道吉日、星相運勢做風控的。

查理說這話是有明顯立場的，站在一個拿出全部身家投資的投資家的角度，即使導致破產的幾率很小，但是從長期來看都是不可容忍的。
我想他說的是這個意思。

不同意這個觀點，VaR確實有很多缺點，首先VaR不滿足一致性（coherent）條件（Artzner在1999年發表的一篇文章《coherent measure risk》里建立了一套關於風險度量的公理體系，一致性是風險度量的一個很好的性質，詳見文章。），但後來人們卻在VaR的基礎上研究出了具有更好性質的度量，比如TCE（tail conditional expectation），所以絕不能否認它的作用，沒有以VaR，哪兒來的後來的那些拓展呢？沒有對VaR的深入研究，哪兒來的後來的完整的風險度量公理體系呢？
至於是不是世界上最蠢的度量，那我現在告訴你一個度量：直接取平均值，這是最粗糙的度量了，一定比VaR蠢多了~~

點評一下匿名用戶的評論，看了一下大體你對Basel 2.5或者3對市場風險內部模型法的要求理解是錯的。Basel III裡面提到VaR進行資本計算要計算兩個部分，一個部分是常規的VaR也就是一般情況，另外一個是Stress VaR，而不是考慮引入，是已經引入了。而且在Basel II就用了。ETL倒是去年由BIS的諮詢的諮詢文里提到，該文叫做Foundmental Review Of the Trading Book。裡面並沒有否認VaR錯誤，而是提出兩點建議，第一點是VaR是不是不夠，得有補充，繼而提出ETL的功能；二是Trading Book交易賬戶的涉及面是不是太窄了，因為證券化很多產品放到表外或者銀行賬戶處理，本來就是不計提資本的。其實VaR是個不錯的工具，考慮一般情景下的最大損失，但是還需要考慮極端情景，黑天鵝事件太厲害，第二是否有效地進行了back testing，沒這個工具，VaR只是個擺設。大家回家好好解讀Basel III的諮詢文吧，不要一來就否定人家用了幾十年的方法。

聖人指著月亮
愚人盯著手指

風險價值(VaR)與期望損失(ES)比較--- 衡量極端損失的風險度量指標。比起收益率波動幅度，投資者往往更為關心投資組合的極端損失風險，VaR與ES即為衡量投資組合極端損失風險的常用指標。VaR的含義為在一定的概率水平下，某一投資組合在未來特定時期內的最大可能損失；而ES的含義為當投資組合的損失超過VaR閥值時所遭受的平均損失程度。由於ES在VaR的基礎上進一步考慮了出現極端情況時的平均損失程度，因此可以更為完整地衡量一個投資組合的極端損失風險。

從過去五年Var和ES與業績表現的相關性來看，無論是VaR還是ES均與基金的累計收益率呈顯著負相關，即VaR或ES越小，基金的累計收益率往往會越高。而ES與累計收益率的Spearman秩相關係數、t值和p值均明顯小於VaR與累計收益率的Spearman秩相關係數、t值和p值。這表明ES與累計收益率的負相關性比VaR更強，並且也更為顯著。

從過去五年的累計收益率來看，VaR最小的10隻股基組合和ES最小的10隻股基組合分別取得了81.47%和90.35%的累計收益率，而同期中證股票基金指數和滬深300指數則分別上漲49.60%和28.18%。可以看到無論是VaR組合還是ES組合均能夠對中證股票基金指數獲得可觀的累計超額收益。而ES組合的累計收益率持續跑贏VaR組合的累計收益率，表現略勝一籌。這與VaR和ES與業績表現相關性的檢驗結果相一致。

建議投資者在考察股票型基金的極端損失風險水平時優先考慮ES指標。VaR與ES均與基金的業績表現呈顯著負相關，通過VaR和ES篩選出的兩組基金組合也均能夠實現明顯超越市場平均水平的收益。而ES由於進一步考慮了投資組合的損失超過風險閥值(即VaR)時的平均損失程度，因此能夠更為完整地反映出投資組合的極端損失風險。ES與基金業績表現的負相關性更強且更為顯著，通過ES指標篩選出的基金組合在累計收益率上也較VaR組合略勝一籌。故建議投資者在考察股票型基金的極端損失風險時優先考慮ES指標。

一、 風險價值(VaR)與期望損失(ES)--- 衡量極端損失的風險度量指標

在傳統的投資組合理論模型中，一個投資組合(單個資產亦可以看成是投資組合的一種特殊類型)的風險常常以方差(或標準差)來進行度量。然而方差反映的是一個投資組合收益率的整體波動幅度，並沒有對下行波動和上行波動進行區分，也沒有體現出投資組合的極端損失風險。而比起收益率波動幅度，投資者往往更為關心投資組合的極端損失風險，即投資組合在很大的概率下所能出現的最大損失。如果這一指標較低，即使投資組合收益率的波動很大，對虧損承受力較低的投資者來說也一樣會有吸引力。在這一背景下，風險價值(Value at Risk， VaR)的概念於1993年被提出.VaR的含義為在一定的概率水平下，某一投資組合在未來特定時期內的最大可能損失。我們假設一個投資組合在未來特定時期內的損失是一個隨機變數X，則其在a這個置信水平下的VaR的數學定義為：

例如，取a=95%，則上述定義的含義為：我們有95%的把握使投資組合在未來特定時期內的損失低於VaRa(X)。因此即為在95%的概率水平下投資組合可能出現的最大損失。

可以看到VaR對於虧損承受能力較低的投資者來說是一個相當重要的指標，選擇VaR較小的投資組合往往會將投資者在正常情況下(比如95%的概率水平下)的最大損失控制在一個較低的水平，有效遏制了投資組合的下行波動風險。然而VaR也存在明顯的缺陷。首先VaR沒有考慮一旦非正常情況出現(即投資組合的損失超過VaR)其極端損失的嚴重程度。我們仍以上面的例子來說明，剛剛我們只確定了投資組合的損失有95%的概率不會超過VaRa(X)，然而畢竟存在5%的概率使投資組合的損失超過VaRa(X)，一旦這種情況出現，投資組合將會面臨怎樣的極端損失？這個信息我們無法通過VaR獲得。其次，VaR不滿足次可加性(即投資組合的VaR不超過組合中各個單個資產的VaR的和的性質)，這樣就意味著以VaR作為風險度量指標可能出現投資組合的總體風險大於組合中各資產的個體風險的總和的情況，違背了以分散化投資來降低投資組合風險的初衷。

為了克服VaR的不足，Rockafeller和Uryasev提出了期望損失(Expected Shortfall，ES)的概念。ES的含義為當投資組合的損失超過VaR閥值時所遭受的平均損失程度。我們將一個投資組合在未來特定時期內的損失用隨機變數X來表示，則其在a這個置信水平下的ES的數學定義為：

注意到投資組合的ES在數學上是以損失在超過VaR時的條件期望來定義的。

如果所有投資組合的損失都服從正態分布，那麼在數學上容易看到VaR和ES所提供的信息是相同的：即VaR較小的投資組合其ES也較小，VaR較大的投資組合其ES也較大(具體數學原理可以參考相關文獻，本文不做贅述)。因此我們只需通過一個指標就可以完整了解投資組合的極端損失風險水平。此時，我們計算VaR和ES的方法為通過一段時期的歷史收益率數據算出投資組合損失的平均值和標準差，然後在損失服從相應的正態分布的假設下計算其VaR和ES.

但是從歷史數據來看，投資組合的損失往往並不服從嚴格的正態分布。這時VaR和ES作為風險度量的指標不再提供相同的信息：VaR(即正常情況下未來特定時期內的最大可能損失)較小的投資組合可能會有比較大的ES(即非正常情況出現時的極端損失)。因此用VaR和ES進行投資組合的風險評判會得出不同的結果。通過以上分析我們可以看到，由於ES在VaR的基礎上進一步考慮了出現極端情況時的平均損失程度，因此可以更為完整地衡量一個投資組合的極端損失風險。同時，我們可以證明ES滿足次可加性(即投資組合的ES不超過組合內各資產ES的總和)，以其作為風險度量的指標符合以分散化投資來降低整體風險的投資目的。

二、 VaR與ES的計算方法介紹

計算VaR和ES的常用方法包括正態分布法，歷史數據模擬法等。其中的正態分布法我們在上一節中已經提到過，就是在假設投資組合的損失服從正態分布的條件下進行VaR和ES的計算，然而從歷史數據來看投資組合的損失並不服從嚴格的正態分布，因此該方法計算出的VaR與ES可能會與市場實際情況發生偏差。歷史數據模擬法則是根據投資組合在過往歷史中的收益率表現以其損失分布的頻率來模擬其損失的概率分布，進而進行VaR與ES的計算。在選取的計算區間較長的情況下，歷史數據模擬法能夠比較真實的反映出投資組合的實際損失分布情況，因此本文在計算VaR與ES時均採用歷史數據模擬法.

以嘉實研究精選(基金凈值基金吧購買)在過去五年(2009年-2013年)的月度收益率數據為例簡單介紹一下用歷史數據模擬進行VaR和ES計算的方法。首先我們將過去五年嘉實研究精選的月度收益率數據按照升序排列在表格1中展示出來：

表格1 嘉實研究精選在2009-2013年的月度收益率(按照月度收益率升序排列)

起始日期終止日期月度收益率2009/8/32009/8/31-14.20%2011/9/12011/9/30-10.17%2011/1/42011/1/31-7.01%2010/6/12010/6/30-5.24%2012/11/12012/11/30-4.86%2013/6/32013/6/28-4.51%2012/8/12012/8/31-4.27%2010/1/42010/1/29-3.91%2013/10/82013/10/31-3.70%2010/4/12010/4/30-3.67%2011/3/12011/3/31-3.52%2011/12/12011/12/30-3.34%2012/3/12012/3/30-3.21%2011/11/12011/11/30-3.16%2010/5/42010/5/31-3.14%2011/5/32011/5/31-2.74%2010/12/12010/12/31-2.30%2011/4/12011/4/29-2.20%2012/1/42012/1/31-1.93%2013/4/12013/4/26-1.89%2011/8/12011/8/31-1.19%2009/12/12009/12/31-1.05%2013/12/22013/12/31-0.58%2012/7/22012/7/31-0.51%2012/6/12012/6/290.07%2013/2/12013/2/280.20%2010/3/12010/3/310.45%2013/3/12013/3/290.48%2011/7/12011/7/291.21%2012/10/82012/10/311.57%2011/6/12011/6/301.74%2012/5/22012/5/312.25%2012/9/32012/9/282.92%2010/2/12010/2/263.13%2013/8/12013/8/303.30%2010/9/12010/9/303.45%2010/10/82010/10/293.52%2013/11/12013/11/293.72%2009/2/22009/2/273.76%2013/5/22013/5/314.07%2010/8/22010/8/314.77%2009/5/42009/5/274.97%2013/7/12013/7/315.20%2011/10/102011/10/315.23%2012/4/52012/4/275.45%2009/4/12009/4/305.62%2011/2/12011/2/285.68%2010/11/12010/11/305.77%2009/1/52009/1/235.93%2009/9/12009/9/306.46%2009/6/12009/6/306.80%2010/7/12010/7/306.84%2012/2/12012/2/297.13%2009/10/92009/10/308.14%2009/11/22009/11/308.27%2013/1/42013/1/319.03%2009/3/22009/3/3110.52%2013/9/22013/9/3010.54%2012/12/32012/12/3111.76%2009/7/12009/7/3113.56%

數據來源：Choice資訊，天天基金研究中心，時間區間：2009/1/1-2013/12/31

容易看到，嘉實研究精選在納入統計的60個月中有57個月的月度收益率超過了2011年1月的收益率-7.01%，佔比95%。如果我們以這60個月的收益率分布來模擬嘉實研究精選月度收益率的概率分布，那麼我們就有95%的把握使嘉實研究精選的月度損失低於7.01%。因此在95%的置信水平下，以過去五年的月度收益率計算的嘉實研究精選的VaR即為7.01%。而一旦嘉實研究精選的月度損失達到或超過了7.01%(即在2009年8月、2011年9月和2011年1月)，其平均損失的程度即為2009年8月、2011年9月和2011年1月這三個月的月度損失的平均值：1/3*(14.20%+10.17%+7.01%)=10.46%。因此根據定義我們得到嘉實研究精選在95%的置信水平下的ES即為10.46%。

三、 VaR和ES與基金業績相關性比較

對成立於2009年以前的139隻普通股票型基金的VaR和ES與業績表現的相關性進行分析，然後分別通過VaR和ES這兩個指標進行基金篩選，通過分析和篩選的結果比較兩種風險度量指標的優劣。其中VaR和ES的計算方法採用上一節中介紹過的歷史數據模擬法，所選取的數據區間為2009年至2013年這五年中60個月的月度收益率數據，置信水平取為95%。VaR和ES與基金業績表現的相關性我們通過過去五年基金的VaR和ES與累計收益率的Spearman秩相關係數進行分析。Spearman秩相關係數的含義解釋如下：在5%的顯著性水平下，如果p值大於0.05則表示ES或VaR與累計收益率相關性不顯著，如果p值小於0.05且相關係數為正，則判定ES或VaR與累計收益率呈顯著正相關，否則即判定為顯著負相關。在已經判定為顯著負相關的基礎上，如果Spearman秩相關係數越小，則表明負相關性越強；而t值和p值越小則表明負相關性越顯著。

經過計算，過去五年中139隻普通股票型基金的VaR和ES與累計收益率的Spearman秩相關係數檢驗結果如下：

表格2 過去五年VaR與累計收益率的相關性檢驗結果

Spearman秩相關係數-0.2267t值-2.7140p值0.0075判定結果顯著負相關

數據來源：Choice資訊，天天基金研究中心，時間區間：2009/1/1-2013/12/31

表格3 過去五年ES與累計收益率的相關性檢驗結果

Spearman秩相關係數-0.3189t值-3.9243p值0.0001判定結果顯著負相關

數據來源：Choice資訊，天天基金研究中心，時間區間：2009/1/1-2013/12/31

可以看到過去五年中無論是VaR還是ES均與基金的累計收益率呈顯著負相關，即VaR或ES越小，基金的累計收益率往往會越高。而ES與累計收益率的Spearman秩相關係數、t值和p值均明顯小於VaR與累計收益率的Spearman秩相關係數、t值和p值。這表明ES與累計收益率的負相關性比VaR更強，並且也更為顯著。

分別篩選出過去五年中VaR最小的10隻普通股票型基金和ES最小的10隻普通股票型基金(見表格2和表格3)，通過其收益率表現進一步驗證之前的相關性分析結果。

表格4 過去五年中VaR最小的10隻普通股票型基金

證券代碼證券簡稱基金成立日過去五年的VaR(%)過去五年的ES(%)050008.OF博時第三產業(基金凈值基金吧購買)股票2007-04-126.2411.47070013.OF嘉實研究精選股票2008-05-277.0110.46070099.OF嘉實優質企業(基金凈值基金吧購買)股票2007-12-087.6612.13202011.OF南方優選價值(基金凈值基金吧購買)股票2008-06-187.7511.84288002.OF華夏收入(基金凈值基金吧購買)股票2005-11-177.8312.83519068.OF匯添富成長焦點(基金凈值基金吧購買)股票2007-03-127.8312.63450004.OF國富深化價值股票(基金凈值基金吧購買)2008-07-037.9211.06160105.OF南方積極配置(基金凈值基金吧購買)股票(LOF)2004-10-148.0911.51340006.OF興全全球視野(基金凈值基金吧購買)股票2006-09-208.1910.54540002.OF滙豐晉信龍騰(基金凈值基金吧購買)股票2006-09-278.2211.90

數據來源：Choice資訊，天天基金研究中心，時間區間：2009/1/1-2013/12/31

表格5 過去五年中ES最小的10隻普通股票型基金

證券代碼證券簡稱基金成立日過去五年的VaR(%)過去五年的ES(%)340007.OF興全社會責任(基金凈值基金吧購買)股票2008-04-309.089.69400007.OF東方策略成長(基金凈值基金吧購買)股票2008-06-038.6410.14519668.OF銀河成長股票2008-05-268.5010.41070013.OF嘉實研究精選股票2008-05-277.0110.46519001.OF銀華價值優選股票2005-09-279.2810.52340006.OF興全全球視野股票2006-09-208.1910.54530006.OF建信核心精選(基金凈值基金吧購買)股票2008-11-259.2810.71257040.OF國聯安紅利股票2008-10-2210.2710.76450004.OF國富深化價值股票2008-07-037.9211.06450002.OF國富彈性市值(基金凈值基金吧購買)股票2006-06-148.3711.06

數據來源：Choice資訊，天天基金研究中心，時間區間：2009/1/1-2013/12/31

為了對兩種風險度量指標篩選出的基金的收益率表現進行比較，我們對兩組基金組合構建如下投資策略：自2009年1月開始，等權重配置組合中的10隻基金，持倉直至2013年12月31日為止。過去五年中在該投資策略下VaR最小的10隻普通股票型基金組合(以下簡稱VaR組合)和ES最小的10隻普通股票型基金組合(以下簡稱ES組合)分別取得了81.47%和90.35%的累計收益率，而同期中證股票基金指數和滬深300指數則分別上漲49.60%和28.18%。可以看到無論是VaR組合還是ES組合均能夠對中證股票基金指數獲得可觀的累計超額收益。而ES組合的累計收益率持續跑贏VaR組合的累計收益率，表現略勝一籌。這與通過Spearman秩相關係數檢驗得到的ES與基金業績負相關性更強且更為顯著的結論相一致。(數據來源：Choice資訊)

四、總結

通過以上分析可以看到，VaR和ES雖然只是衡量投資組合極端損失風險的指標，並沒有考慮風險閥值內的收益水平，但兩項指標均與基金的業績表現呈現顯著的負相關性，而由這兩項指標篩選出的基金組合也均能夠實現明顯超越市場平均水平的收益。這說明能夠較好控制極端損失風險的基金管理者亦有能力取得超越市場平均水平的長期累計收益。而在VaR與ES之間，ES由於進一步考慮了投資組合的損失超過風險閥值(即VaR)時的平均損失程度，因此能夠更為完整地反映出投資組合的極端損失風險。分析結果表明ES與基金業績表現的負相關性更強且更為顯著，並且通過ES指標篩選出的基金組合在累計收益率上也較VaR組合略勝一籌。故建議投資者在考察股票型基金的極端損失風險水平時優先考慮ES指標。

Modified VaR considering skewness and kurtosis is a better way to measure risk

the limitations of VAR is as follows :
(1) two arbitrary parameters are used in the calculation ( the confidence level and the holding period)
(2) its subject to model risk and implementation risk;
(3) it does not tell investors the amount and magnitude of the actual loss;
(4)it violates the coherent risk measure property of suba

VAR的廣泛應用代表著監管機構正式開始運用概率性思維衡量金融機構的風險，而不是用單純地採用靜態的會計數據。
所以儘管VAR的測度能力還很原始，但仍代表了思維進步的趨勢。