拓撲學在物理研究中有哪些具體應用？

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經常聽到「拓撲絕緣體」「拓撲解」這樣的詞，想知道拓撲學在物理研究的具體應用大致有哪些，分別得出怎樣的結果，有怎樣的特性？
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我來說一些跟固體物理無關的應用，展示一些更直觀的圖像。我想講的是在軟物質和生物物理方面的一些例子。

在固體中，組成晶格的離子本身處在一定的空間位置上，一旦排錯就可能出現缺陷，有的是拓撲性的缺陷，同時固體里還有電子，電子可以有自旋的取向。而在軟物質體系里情況可以變得更有意思，構成液晶的分子不但在空間中佔據一定的位置，而且還具有一定的取向，因此在固體物理里可能出現的許多拓撲問題，都能在液晶里找到甚至更容易地觀察到。如下圖（a）-（d）中就展示了一些幾種不同的拓撲缺陷結構（圖引自Topological structure dynamics revealing collective evolution in active nematics : Nature Communications : Nature Publishing Group，中文的說明可以參考：微觀拓撲缺陷與宏觀大尺度動力學）。

液晶的取向性質很好玩，但是不是還可以更好玩些？於是有了 Active matter: Playful topology （http://www.nature.com/nmat/journal/v13/n11/full/nmat4123.html），在生物體系的集體行為中里，我們也能看到像液晶一樣的現象，例如形成集群在空中飛行（或者盤旋）的鳥，水中的魚群，又或者細胞內的分子馬達和微管，如果在空間上相互靠近，為了避免碰撞，也會保持相近的取向。更有意思的是，這些「分子」還是能自己驅動的。與電子體系相比，這些體系中的「缺陷」和「渦旋」都是大家在生活中非常常見的。

因為考慮到取向問題，我們還可以來想一些更有意思的裝配問題，如果在一個球面上排上液晶分子，那麼會怎樣？首先不難想像，肯定會出現缺陷，如下圖（圖來自：Morphology of nematic and smectic vesicles），在病毒的裝配時，也會遇到類似的問題。而囊泡的情況還更為複雜，如果發生變形，那麼變形過程中可能出現更有意思的一些過程，Morphology transition in lipid vesicles due to in-plane order and topological defects。中文說明請參考：囊泡液晶序和囊泡形狀。

再生物一些，我們還可以想到DNA在形成螺旋和解螺旋過程中的「拓撲異構酶」，當然我們知道這種酶並不是真的去解開螺旋，而是通過切開和重新封口而形成的。從這種原理中我們其實可以得到啟發，更複雜地通過多條鏈之間的配對關係，可以幫助我們用 DNA 組裝出各種有意思的結構，例如 M?bius 環，我們甚至還可以剪開它看看是不是跟用紙帶做出來的實驗結果一致（圖片來自：Folding and cutting DNA into reconfigurable topological nanostructures : Nature Nanotechnology : Nature Publishing Group）。

另一個與拓撲有關的基本問題就是扭結（Knot）。在扭結理論方面，生物分子也不甘示弱，不但有贗結（Pseudoknot），還可以真的打結，例如傳說中的打結蛋白（Knotted protein）。最初研究發現打結蛋白的科學家其實是從拓撲學得到了啟發，想要在他們的計算中避免打結的情況，因為他們認為一旦出現打結，那麼摺疊過程可能更長，在自然選擇中很可能會被淘汰，於是他們寫了個程序可以判斷蛋白質摺疊過程中是否打結——然而他們用他們的程序去測試蛋白質的 PDB 資料庫里的結構時，卻發現打結蛋白並不少，如圖（圖來自：Chemical Engineering News: Latest News）。現在，打結蛋白的有關研究也已經成為一個比較熱點的問題。

我來跑個題，扯點拓撲學在化學中的一些有趣的應用，分子拓撲學（wiki: Category:Molecular topology）。

搞化學的人總是喜歡弄點看起來牛（qi）逼（pa）的東西，動不動就想搞個大新聞。最近二三十年來，有那麼一群大（dou）牛（bi）搞出了以下這些東西。
先找個看起來高大上的網站大家感受下：Interlocked Molecules （裡面有可以自行轉動的3D模型，推薦大家把玩把玩）

搞分子拓撲學這幫人主要用各種有機反應合成具有奇怪拓撲結構的分子。比如下面這樣的：

是不是看起來不（sang）明（xin）覺（bing）厲（kuang）

第一個圓圈就不說了，太普通。。。
第二個叫Trefoil Knot, 前年劍橋的校長做出來發了篇Science Discovery of an Organic Trefoil Knot
長這樣:

不過這並不是Trefoil knot第一次被報道，10年前就被該領域的奠基人之一的法國大牛Jean-Pierre Sauvage 做出來了：

不過這並不是Trefoil knot第一次被報道，10年前就被該領域的奠基人之一的法國大牛Jean-Pierre Sauvage 做出來了：Stereoselective Synthesis of a Topologically Chiral Molecule: The Trefoil Knot
長這樣：

Trefoil knot因為不能和自己的鏡像重合，所以具有手性，校長同學說我能幾乎定量只得到其中一種對映異構體，所以搞了個大新聞。

像Trifoil knot這樣能從某個點出發朝一個方向遍歷一周回到起點的都叫做Molecular knot，是Molecular topology中的一大分支，現在做molecular knot的人裡頭最喪心病狂的算是Professor David Leigh , 他算是我師兄，從我老闆手下比我早畢業差不多三十年。
來看看他做了些啥：

放錯了，應該是這個：

還在Nature Chemsitry上搞了個逼格甚高的封面

文章鏈接：A synthetic molecular pentafoil knot : Nature Chemistry : Nature Publishing Group
高大上的晶體結構動畫展示：http://www.catenane.net/media/2012hologram.mp4

上次開會的時候看見他把上面那個8-19的喪心病狂的Knot做出來了，文章還沒發出來，等發出來了來更這一條。看這樣子是要把knot表裡的全搞一遍的節奏。

除了Knot，還有一些從一點回到起點沒有遍歷所有地方的結構，比如兩個圓圈扣在一起這樣的叫做Catenane ，比如下面這個是我老闆（Fraser Stoddart）1989年做出來的：

文章鏈接：A [2] Catenane Made to Order

同樣是兩個環，如果是一種比Catenane更激情的狀態抱在一起的，叫做Solomon"s knot ，大概長這樣(我老闆2006年做出來的)：

文章鏈接: A Molecular Solomon Link

神馬，你還覺得不夠激情，好吧，還有。。如果兩個環各交疊三次，形成的結構叫David Catenane. 長這樣：

文章鏈接： http://www.nature.com/nchem/journal/v6/n11/full/nchem.2056.html （師兄你這樣灌Nature Chem真的好嗎）
動畫：Making molecules that make molecules

這種激情如果衍生到三個環，那簡直就不忍直視了，竟然也被做出來了（如下圖，2004年Science). 這大約是我老闆一生感情最複雜的分子了, 這是一個極富美感的分子，老闆毫不掩飾對它的喜愛，辦公室里有各種以此結構為基礎的小型雕塑和油畫作品；他一生的夥伴和愛人大約是在這篇文章發表的時候因病去世的。

文章鏈接：Molecular Borromean Rings

再來個彩蛋吧，1994年我們還做過這貨。。。

文章鏈接: Olympiadane - Amabilino (當時我老闆還在英國，作者是按字母順序排的，看看這兩個姓A的多麼膠著。。）

Oligocatenanes Made to Order1 (時隔四年長出了單晶，即使放在今天來看也令人嘆為觀止）

最後你問我這些分子做出來有什麼用，呵呵，滿足了我們這些科（dou）學（bi）家的好奇心算不算o(*￣▽￣*)o

=======嚴肅的分割線=======

上日報了，為了避免大家都覺得我們是真逗比，還是為自己說幾句話吧。

很多同學好奇看起來酷炫的分子有沒有實際用途，老實說，大多數都沒有，小部分（例如雙穩態的catenane有潛在分子電子學的應用，可做分子開關，分子存儲器，分子邏輯門等，見ref 4-6).

既然大多數都沒用，那我們為什麼還要花著納稅人的錢去做這些華而不實的東西呢？科學研究並不是一個能立竿見影，一口吃成個胖子的事，大多數時候都收效很慢。合成這些分子的過程中，很多的知識和技術得到了發展，比如精確分子結構設計在這些工作中都是至關重要的，這擴展了我們對有機分子識別的認識（配位作用，pi-pi作用，疏溶劑效應等）。另外，這些巧妙的合成的方法也可以推而廣之到設計一些其他的有用途的分子中去。

參考文獻:
1. Chemical Topology: Complex Molecular Knots, Links, and Entanglements
2. Template synthesis of molecular knots
-
Chemical Society Reviews
(RSC Publishing)
3. The master of chemical topology
-
Chemical Society Reviews
(RSC Publishing)
4. High hopes: can molecular electronics realise its potential?
-
Chemical Society Reviews
(RSC Publishing)
5. A [2]Catenane-Based Solid State Electronically Reconfigurable Switch
6. http://www.nature.com/nature/journal/v445/n7126/full/nature05462.html

最簡單的拓撲不變數是虧格吧，也就是一個曲面上「洞」的個數，比如加拿大國家零食甜甜圈虧格數就是一。

早在1974年，描述夸克的量子色動力學（QCD）建立不久，由於在低能的時候QCD是強耦合，導致人們找不到一個參數去做微擾。這一年是個物理大年，荷蘭天才少年t"Hooft提議用色的數量當作微擾參數(現在叫1/N expansion)。最簡單的模型是U(N) theory加上quartic coupling, 其中所有的場都是在adjoint rep裡面(matrix valued field). 用費曼法則可以簡單寫下propagator和 vertex，然後就能寫下所有n point function。由於場都是矩陣，所以我們做contraction的順序會導致不同的振幅。這些不同的順序畫出來的費曼圖的區別是有沒有線相交。t"Hooft說我們到圓環上畫就可以讓他們不相交了。就這樣弄下去，tHooft發現可以用1/N當作參數做展開，求和正好對應於對不同的虧格數求和。

巧了，正好有一個當年被QCD打敗的理論也是對虧格數求和的，那就是弦論。弦的散射用worldsheet畫出來就是用虧格數分類的。所以早在七十年代，某種場論和弦論的對應關係就被發現了。只是礙於時代的限制，人們並不知道如何從一個large N場論找到對應的弦論（或反過來）。直到九十年代初，又是tHooft，提出了全息原理，啟發了後來的AdS/CFT大法。

The Big Picture簡單說就是：量子態的分類方法。
有時用代數不變數（比如Casmir），有時用拓撲不變數。
用後者分類時，拓撲不平凡的態就稱為拓撲解。
至於什麼時拓撲不平凡，上面的大神都說了。從場的角度來說就是場位形的拓撲類（同倫類），不同類的場位形之間不能通過連續變化得到彼此。
至於凝聚態里的具體例子，我就不清楚了。

有做化學和軟物質物理的朋友做了很好的回答。我只是作為外行曝露一下我對這個話題的誤解。

拓撲學是數學，所以肯定是具有數學之於物理的一般意義：提供描述語言和邏輯工具。拓撲學在很多「高大上」的物理中的應用非常深廣（或者說結合很緊密），這裡好幾個回答都提到了。至於在軟物質研究領域，主要分為兩大趣味：一是無序性，這個主要建立在統計和動力學（dynamics）的語言上，因此拓撲學可以用於相空間的研究，例如劉維爾方程的辛幾何；另一個是特殊的、暫時的有序性，在此拓撲學可以用於形貌的描述，例如在拓撲學在物理研究中有哪些具體應用？ - 傅渥成的回答中提到的幾個例子。

另外，還有人從化學的角度進行了回答。化學的旨趣之一是合成，創造自然界沒有的、新奇的結構。化學為我們提供了拓撲學分類意義上的新體系，已經完成任務（見拓撲學在物理研究中有哪些具體應用？ - 成楚暘的回答）。

但是任何數學對物理學都可以有這種意義，所以上述拓撲學的意義就流於一般化。在物理學上可以進一步去探索：這些新體系在拓撲學上的不同，對應著什麼性質的不同，或者問是否存在這樣的對應性？換句話說，存不存僅依賴拓撲學差異，而不依賴具體化學和幾何結構的物理體系及其性質？這個問題就不同於「拓撲學在物理學研究中有什麼用」了，而是問：物理學已經發現的哪些規律使人覺得「上帝懂拓撲學」、「上帝特意利用拓撲學設計了世界的這一部分」？

「手性」不算拓撲學的研究對象（它應該屬於對稱群的研究對象），但可以用來解釋什麼叫「在物理學上的意義」。例如化學中的對映結構選擇性、手性放大，就是直接對應。還有，物理中很多集群行為的有序性也取決於手性。這也是功能與結構存在具體對應性的例子。還有一個例子就是，「聚合物可結晶性」中的構型（conformation）因素，如全同聚丙烯能結晶成為塑料，而無規聚丙烯不結晶無法作為結構材料。這是手性的有序性與性質（功能）的直接對應關係。

於是，在軟物質當中，拓撲學差異有沒有類似手性這樣，直接決定物理性質的例子？這才是我關心的問題。拓撲學在物理研究中有哪些具體應用？ - 傅渥成的回答中提到的幾個代表性例子中拓撲學差異只是一種結果；而拓撲學在物理研究中有哪些具體應用？ - 成楚暘的回答中的例子代表著我們也能實現拓撲學層面上的製備，但它們能導致什麼結果有待研究。而更廣闊的視點應該是去在各類體系的新行為研究中留意哪些是直接由拓撲學差異所對應的結果。

可是，在化學和軟物質領域的論文中，「拓撲」一詞被嚴重濫用。很多「拓撲結構依賴性」其實沒什麼拓撲學意義上的差異。

在string phenomenology裡面，代數拓撲是最基本的語言啦。

神馬復幾何，代數幾何，都要用到拓撲的方法。

Chern class，Hodge number, divisor這些，要用來分類Calabi-Yau流形，進而試圖在上面建立物理結構，試圖和標準模型聯繫在一起。

有一大堆理論，神馬Donaldson, Witten, .......全是建立在拓撲的基礎上的。

據我所知，拓撲絕緣體之所以用拓撲這個概念是因為使用了拓撲對絕緣體進行了分類。從更本質的微觀物理圖象上總是可以用各種機制來解釋各種具體材料的具體性質，比如自旋軌道耦合，朗道能級分裂。但是除了這些具體的起源對物理實體進行解釋外，理論上還可以做的事就是可以從更一般的高度用一些簡單的量來分類。比如用帶隙來分類絕緣體和半導體而不具體考察晶體的具體的晶體結構和能帶形狀，再如用莫氏硬度對固體來分類而不管到底是不是晶體。

而利用拓撲性質也可以進行分類，在我看來和利用其它某種性質進行分類沒有原理上的區別。不同之處在於它所揭示的或者分類的方式具有更高的完備性並且給出了一定的實踐指導意義。比如拓撲絕緣體對絕緣體的分類，平凡的絕緣體只是有帶隙，而拓撲絕緣體在「內部」是有帶隙而在「邊界」卻有零帶隙的態。而這種「內部」與「邊界」的關係在二維和三維分別體現為面內與邊，體內與表面的對應關係。看似奇怪的能帶結構和性質其實可以用能帶的拓撲性質來分類，仔細想想這其實也很自然和直接。比如地上有好幾坨丑襪子，我們總是可以根據有奇數只還是偶數只來分類哪些襪子有可以繼續穿哪些得扔掉。所以能帶的chern number就自然也起到了分類不同絕緣體的作用，而且分類的這個群性質還很簡單，就和把整數分成奇數或者偶數一樣。

至於這麼干有什麼用，很簡單。從理論是就可以通過計算來預測一個具體晶體有沒有可能是拓撲絕緣體。這大大延長了做材料(實際上就是燒爐子)的人的職業生涯，並且即使測不到表面狄拉克費米子別人也不一點敢把你批判一番，因為體內也有貢獻啊，說不定表面性質被淹沒了。同時做理論的人還可以一揮手指點江山，把天下分成九州，然後爾等做實驗的就可以拿著官印各領xx州牧了。

Ma Xiaonan還有他的合作者前幾年做了個量子Hall效應與Quillen度量之間的關係的工作，後者勉強可以算作拓撲學(K理論，示性類)的工具。
最近我用Quillen度量比較多，應該會在下周讀他們這篇文章。

楊振寧用纖維叢搞出 yang mills

補充：弦論數學基礎就有拓撲學。
就是這貨：

不同在弦在卡拉比—丘流形運動，可以稱為「粒子」。

太多啦，比如Dirac monopole的導出，比如最基本的tachyon scattering裡面是對不同的歐拉示性數的黎曼平面求和，one loop means g=1 etc。又比如說witten anomaly之類的，什麼存在sym跟fibre bundle的stability condition之類的

拓撲的直觀意思就是一個物體如果經過連續的形變能變成另一個物體，那兩個在拓撲意義上就是等價的。比如一個甜甜圈和一個帶把兒的茶杯拓撲上是一樣的，都有一個孔。在物理上對應能隙帶（energy gap）。一個物理系統如果能連續的變化到另一個物理系統（變化過程中gap不關掉），那兩個系統拓撲意義上上等價。這些年大熱的所謂拓撲絕緣體，量子自旋霍爾效應，馬約拉納費米子等在實驗上都不是嚴格的拓撲體系，只有量子霍爾效應才是真正的拓撲體系。

第一次回答專業問題，因為自己的畢設課題就是研究這個的，想說兩句~

感覺前面的大神都太專業太高深了，我來個零基礎版本。如果有不對的地方期待大家指正哈！

我的畢設課題是「拓撲絕緣體的偏振光電流研究」。我開始還特意去了解了一下拓撲學，但現在我發現其實題主所說的「拓撲絕緣體」和數學領域的"拓撲學「」並沒有太大聯繫。簡單來說，拓撲絕緣體就是表面導電，但體內絕緣的一種特殊的絕緣體。就好比鍍金的陶瓷碗，鍍金層能導電，但是陶瓷碗本身不導電。但是它的性質又不完全等同於鍍金陶瓷碗，因為鍍金陶瓷碗表面的導電性會隨著表面金屬層的磨損而消失，但是拓撲絕緣體「表面導電，體內絕緣」的性質是它的內稟性質，不會隨著磨損表面而消失。拓撲絕緣體「表面導電，體內絕緣」的性質主要是由於表面的狄拉克錐引起的。

先說這麼多~有人有興趣或者有問題我再繼續出來冒泡~

gis的拓撲運算，使景觀分析的定量化向前邁進了一大步

拓撲學的德合勒、扳口袋兩個分支比較實用…
小絆子能練好也不錯…

歐姆定律算不？

事實上, 還容易發現圓環上的閉合道路是可以通過繞圓環的圈數來分類的: 從圓環一點出發, 繞了圓環 n 圈, 最終回到那一點的任何閉合道路在拓撲上都是等同的. 上面的結論用拓撲學家的話說, 就是球面的第一同倫群是平凡群 $pi_1(S^2)=0$ , 圓環的第一同倫群是整數加法群 $pi_1(S^1)=mathbb{Z}$ .